2024-2025学年试题数学三十一平面与平面平行的判定定理.docx

三十一平面与平面平行的判定定理

(时间:45分钟分值:90分)

【基础全面练】

1.(5分)已知a,b,c,d是四条直线,α,β是两个不重合的平面,若a∥b∥c∥d,a?α,b?α,c?β,d?β,则α与β的位置关系是()

A.平行 B.相交

C.平行或相交 D.以上都不对

【解析】选C.由图1和图2可知,α与β平行或相交.

2.(5分)(多选)下列命题正确的是()

A.如果两个平面(不重合)不相交,那么它们平行

B.如果一个平面内有无数条直线都平行于另一平面,那么这两个平面平行

C.空间两个相等的角所在的平面平行.

D.一个三角形有两条边所在的直线分别平行于一个平面,那么该三角形所在的平面与这个平面平行

【解析】选AD.由两个平面平行的定义可知A正确;对B,若这无数条直线都平行,则这两个平面可能相交,B错误;对C,这两个角可能在同一平面内,故C错误;一个三角形有两条边所在的直线平行于一个平面,由面面平行的判定定理可知,该三角形所在的平面与这个平面平行,故D正确.

3.(5分)设α,β是两个不同的平面,m是直线且m?α,m∥β,若使α∥β成立,则需增加的条件是()

A.n是直线且n?α,n∥β

B.n,m是异面直线且n∥β

C.n,m是相交直线且n?α,n∥β

D.n,m是平行直线且n?α,n∥β

【解析】选C.要使α∥β成立,需要其中一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,n,m是相交直线且n?α,n∥β,m?α,m∥β,由平面与平面平行的判定定理可得α∥β.

4.(5分)在长方体ABCDA1B1C1D1中,E,F,G,H分别为棱A1B1,BB1,CC1,C1D1的中点,则下列结论中正确的是()

A.AD1∥平面EFGH

B.BD1∥GH

C.BD∥EF

D.平面EFGH∥平面A1BCD1

【解析】选D.在长方体ABCDA1B1C1D1中,E,F,G,H分别为棱A1B1,BB1,CC1,C1D1的中点,在A中,AD1与BC1平行,而BC1与平面EFGH相交,故AD1不平行于平面EFGH,故A错误;

在B中,BD1∩CD1=D1,CD1∥GH,

故BD1不可能平行于GH,故B错误;

在C中,BD∩A1B=B,A1B∥EF,

故BD与EF不可能平行,故C错误;

在D中,EF∥A1B,FG∥BC,A1B∩BC=B,EF∩FG=F,所以平面EFGH∥平面A1BCD1,故D正确.

【补偿训练】

如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E在B1D1上,F在A1B1上,且B1EB1F=B1D1B1A1,过E作EH∥B1B交BD于

A.平行 B.相交

C.垂直 D.以上都有可能

【解析】选A.在平面A1B1C1D1中,因为B1EB1F=B1D1B1A1,所以EF∥A1D1,由正方体ABCDA1B1C1D1得,B1C1∥A1D1,所以EF∥B1C1,又因为EF?平面BB1C1C,B1C1?平面BB1C

同理可得,EH∥平面BB1C1C,又因为EF∩EH=E.EF,EH?平面EFH,

所以平面EFH∥平面BB1C1C.

5.(5分)(多选)对于不重合的两个平面α与β,给定下列条件中,可以判定α与β平行的条件有()

A.存在平面γ,使得α,β都平行于γ

B.存在平面γ,使得α,β都垂直于γ

C.α内有不共线的三点到β的距离相等

D.存在异面直线l,m,使得l∥α,l∥β,m∥α,m∥β

【解析】选AD.对于A,存在平面γ,使得α,β都平行于γ,所以两个平面平行,所以A正确;对于B,设正方体的一个底面为γ,两个相邻侧面分别为α,β,满足α⊥γ,β⊥γ,但α⊥β,所以B不正确.对于C,不能判定α与β平行,如α内不共线的三点不在β的同一侧时,α与β相交,所以C不正确;对于D,可以判定α与β平行,可在平面α内作l∥l,m∥m,则l与m必相交.又因为l∥β,m∥β,所以l∥β,m∥β,所以α∥β,所以D正确.

6.(5分)已知在正三棱柱ABCA1B1C1中,G是A1C1的中点,过点G的截面与侧面ABB1A1平行,若侧面ABB1A1是边长为4的正方形,则截面的周长为()

A.6 B.8 C.10 D.12

【解析】选D.如图,取B1C1的中点M,BC的中点N,AC的中点H,连接GM,MN,HN,GH,

则GM∥HN∥AB,MN∥GH∥AA1,所以有GM∥平面ABB1A1,MN∥平面ABB1A1.

又GM∩MN=M,所以平面GMNH∥平面ABB1A1,即四边形GMNH为过点G且与侧面ABB1A1平行的截面.易得此截面的周长为4+4+2+2=12.

7.(5分)正方体的六个面中相互平行的平面有__________对.?

【解析】由正方体模型可知,六个面中共有3对相对的面互相平行.