2025高考数学二轮专题复习专题六解析几何微专题4定点(线)、定值问题 .docxVIP

微专题4定点(线)、定值问题

[考情分析]以直线与圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，考查定点、定线与定值问题，运算量较大，难度较大.

考点一定点问题

例1(2024·荆州适应性考试)已知F1(-2，0)，F2(2，0)，M是圆O：x2+y2=1上任意一点，F1关于点M的对称点为N，线段F1N的垂直平分线与直线F2N相交于点T，记点T的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程；

(2)设E(t，0)(t0)为曲线C上一点，不与x轴垂直的直线l与曲线C交于G，H两点(异于E点).若直线GE，HE的斜率之积为2，求证：直线l过定点.

(1)解连接OM，

由题意可得|OM|=1，且M为NF1的中点，又O为F1F2的中点，

所以OM∥NF2，且|NF2|=2|OM|=2.

因为线段F1N的垂直平分线与直线F2N相交于点T，

所以|TN|=|TF1|，

所以TF2-TF1=T

由双曲线的定义知，动点T的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线.

设其方程为x2a2-y2b2=1(a0，b0)，则a=1，c=12F

故曲线C的方程为x2-y2

(2)证明由(1)知E(1，0)，

依题意直线l的斜率存在，

设直线l的方程为y=kx+m，G(x1，y1)，H(x2，y2)，

由y=kx+m,x2-y23

3-k2≠0，由Δ0，得m2+3-k20，

所以x1+x2=2km3-k2，x1x

则kGE·kHE=y1x1-1

=k

=k2·

整理得k2-4km-5m2=0，

即(k-5m)(k+m)=0，

解得k=5m或k=-m，

当k=5m时，直线l的方程为y=5mx+m=m(5x+1)，

直线l过定点-1

当k=-m时，直线l的方程为y=-mx+m=m-x

直线l过定点E(1，0)，不符合题意，舍去.

综上所述，直线l过定点-1

[规律方法](1)直线过定点问题，一般可先设出直线的方程：y=kx+b，然后利用题中条件整理出k，b的关系，进而确定定点.

(2)圆过定点问题的常见类型是以AB为直径的圆过定点P，常把问题转化为PA⊥PB，也可以转化为PA·PB=0.

跟踪演练1(2024·厦门质检)双曲线C：x2a2-y2b2=1(a0，b0)的离心率为3，点

(1)求C的方程；

(2)设圆O：x2+y2=2上任意一点P处的切线交C于M，N两点，证明：以MN为直径的圆过定点.

(1)解依题意有2a2-2b2=1,c2=a

所以双曲线方程为x2-y2

(2)证明方法一设M(x1，y1)，N(x2，y2)，

①当切线斜率存在时，设直线方程为y=kx+m，

因为直线与圆相切，所以m1+k2

整理得m2=2+2k2，联立x

得(2-k2)x2-2kmx-m2-2=0，

Δ=4k2m2+4(2-k2)(m2+2)=8(m2+2-k2)0，

则x1+x2=2km2-k2，x1x

由对称性知，若以MN为直径的圆过定点，则定点必为原点.

OM·ON=x1x2+y1y2

=x1x2+kx1+mkx2+m=1+k

=1+k2-m2-2

=m2

又m2=2+2k2，所以OM·ON=0，

所以OM⊥ON，故以MN为直径的圆过原点.

②当切线斜率不存在时，直线方程为x=±2，

若M2，2，N2，-2或M

此时圆的方程为x-22+y2

若M-2，2，N-2，-2

此时圆的方程为(x+2)2+y2=2，恒过原点，

综上所述，以MN为直径的圆过原点.

方法二设M(x1，y1)，N(x2，y2)，

①当切线斜率存在时，设直线方程为y=kx+m，

因为直线与圆相切，所以m1+k2

整理得m2=2+2k2，联立x

得(2-k2)x2-2kmx-m2-2=0，

Δ=4k2m2+4(2-k2)(m2+2)=8(m2+2-k2)0，

则x1+x2=2km2-k2，x1x

以M(x1，y1)，N(x2，y2)为直径的圆的方程为(x-x1)x-x2+(y-y1)(y-y2

即x2-x1+x2x+x1x2+y2-y1+y2

因为x1x2+y1y2=x1x2+kx1+mkx2+m=k2

=(k2+1)·-m2-22-k2

=m2-2

且y1+y2=k(x1+x2)+2m=k·2km2-k2+2

所以所求的圆的方程为x2-2km2-k2x+y2-

所以以MN为直径的圆过原点.

②当切线斜率不存在时，同方法一，此时圆的方程为(x±2)2+y2=2，恒过原点，

综上所述，以MN为直径的圆过原点.

考点二定线问题

例2已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(ab0)的短轴长为23，左、右顶点分别为C，D，过右焦点F(1，0)的直线l交椭圆E于A，B两点(不与C，D重合)，直线

(1)求椭圆E的方程；

(2)求证：点T在定直线上.

(1)解依题意，b=3，半焦距c=1，则a=b2+

所以椭