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微专题4定点(线)、定值问题
[考情分析]以直线与圆锥曲线的位置关系为载体,以参数处理为核心,考查定点、定线与定值问题,运算量较大,难度较大.
考点一定点问题
例1(2024·荆州适应性考试)已知F1(-2,0),F2(2,0),M是圆O:x2+y2=1上任意一点,F1关于点M的对称点为N,线段F1N的垂直平分线与直线F2N相交于点T,记点T的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)设E(t,0)(t0)为曲线C上一点,不与x轴垂直的直线l与曲线C交于G,H两点(异于E点).若直线GE,HE的斜率之积为2,求证:直线l过定点.
(1)解连接OM,
由题意可得|OM|=1,且M为NF1的中点,又O为F1F2的中点,
所以OM∥NF2,且|NF2|=2|OM|=2.
因为线段F1N的垂直平分线与直线F2N相交于点T,
所以|TN|=|TF1|,
所以TF2-TF1=T
由双曲线的定义知,动点T的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线.
设其方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),则a=1,c=12F
故曲线C的方程为x2-y2
(2)证明由(1)知E(1,0),
依题意直线l的斜率存在,
设直线l的方程为y=kx+m,G(x1,y1),H(x2,y2),
由y=kx+m,x2-y23
3-k2≠0,由Δ0,得m2+3-k20,
所以x1+x2=2km3-k2,x1x
则kGE·kHE=y1x1-1
=k
=k2·
整理得k2-4km-5m2=0,
即(k-5m)(k+m)=0,
解得k=5m或k=-m,
当k=5m时,直线l的方程为y=5mx+m=m(5x+1),
直线l过定点-1
当k=-m时,直线l的方程为y=-mx+m=m-x
直线l过定点E(1,0),不符合题意,舍去.
综上所述,直线l过定点-1
[规律方法](1)直线过定点问题,一般可先设出直线的方程:y=kx+b,然后利用题中条件整理出k,b的关系,进而确定定点.
(2)圆过定点问题的常见类型是以AB为直径的圆过定点P,常把问题转化为PA⊥PB,也可以转化为PA·PB=0.
跟踪演练1(2024·厦门质检)双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为3,点
(1)求C的方程;
(2)设圆O:x2+y2=2上任意一点P处的切线交C于M,N两点,证明:以MN为直径的圆过定点.
(1)解依题意有2a2-2b2=1,c2=a
所以双曲线方程为x2-y2
(2)证明方法一设M(x1,y1),N(x2,y2),
①当切线斜率存在时,设直线方程为y=kx+m,
因为直线与圆相切,所以m1+k2
整理得m2=2+2k2,联立x
得(2-k2)x2-2kmx-m2-2=0,
Δ=4k2m2+4(2-k2)(m2+2)=8(m2+2-k2)0,
则x1+x2=2km2-k2,x1x
由对称性知,若以MN为直径的圆过定点,则定点必为原点.
OM·ON=x1x2+y1y2
=x1x2+kx1+mkx2+m=1+k
=1+k2-m2-2
=m2
又m2=2+2k2,所以OM·ON=0,
所以OM⊥ON,故以MN为直径的圆过原点.
②当切线斜率不存在时,直线方程为x=±2,
若M2,2,N2,-2或M
此时圆的方程为x-22+y2
若M-2,2,N-2,-2
此时圆的方程为(x+2)2+y2=2,恒过原点,
综上所述,以MN为直径的圆过原点.
方法二设M(x1,y1),N(x2,y2),
①当切线斜率存在时,设直线方程为y=kx+m,
因为直线与圆相切,所以m1+k2
整理得m2=2+2k2,联立x
得(2-k2)x2-2kmx-m2-2=0,
Δ=4k2m2+4(2-k2)(m2+2)=8(m2+2-k2)0,
则x1+x2=2km2-k2,x1x
以M(x1,y1),N(x2,y2)为直径的圆的方程为(x-x1)x-x2+(y-y1)(y-y2
即x2-x1+x2x+x1x2+y2-y1+y2
因为x1x2+y1y2=x1x2+kx1+mkx2+m=k2
=(k2+1)·-m2-22-k2
=m2-2
且y1+y2=k(x1+x2)+2m=k·2km2-k2+2
所以所求的圆的方程为x2-2km2-k2x+y2-
所以以MN为直径的圆过原点.
②当切线斜率不存在时,同方法一,此时圆的方程为(x±2)2+y2=2,恒过原点,
综上所述,以MN为直径的圆过原点.
考点二定线问题
例2已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的短轴长为23,左、右顶点分别为C,D,过右焦点F(1,0)的直线l交椭圆E于A,B两点(不与C,D重合),直线
(1)求椭圆E的方程;
(2)求证:点T在定直线上.
(1)解依题意,b=3,半焦距c=1,则a=b2+
所以椭
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