2025高考数学二轮专题复习专题三数列微创新 数列与其他知识的综合问题 .docx

微创新数列与其他知识的综合问题

[考情分析]新高考下数列与其他知识的综合问题是高考的热点，也是各地模拟考试热点，经常以压轴大题的形式出现，一般难度较大，考查的范围较广.数列常与概率、函数、解析几何相结合，也可以与集合、解三角形、立体几何相结合.在学习过程中，对综合运用各种知识技能解题的灵活性要求有所加强，应予以重视.

考点一数列与概率统计结合

例1[数列收敛]龙泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A和B两个套餐服务，顾客可选择A和B两个套餐之一，并在App平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App平台10天销售优惠券情况.

日期t

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

销售量y(千张)

1.9

1.98

2.2

2.36

2.43

2.59

2.68

2.76

2.7

0.4

经计算可得y=11010Σi=1yi=2.2，10Σi=1tiyi

(1)因为优惠券购买火爆，App平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，已知销售量y和日期t呈线性关系，现剔除第10天数据，求y关于t的经验回归方程(结果中的数值用分数表示)；

(2)若购买优惠券的顾客选择A套餐的概率为14，选择B套餐的概率为34，并且A套餐只可使用一张优惠券，B套餐只可使用两张优惠券，记App平台累计销售优惠券为n(n∈N*)张的概率为Pn，求P

(3)记(2)中所得概率Pn的值构成数列{Pn}(n∈N*).

①求数列{Pn}的最值；

②数列收敛的定义：已知数列{an}，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数N0，使得当nN0时，|an-a|ε(a是一个确定的实数)，则称数列{an}收敛于a.根据数列收敛的定义，证明数列{Pn}收敛.

参考公式：b^=nΣi=1(xi-x)(

(1)解剔除第10天的数据，

可得y新=2.2×10-0.49

t新=1+2+3+4+5+6+7+8+99

则(9Σi=1tiyi)新

(9Σi=1ti2)

所以b^=

=114.73-9×5×2.4285-9×52

可得a^=2.4-6736000×5=

所以y^=6736000t+

(2)解由题意知Pn=14Pn-1+34Pn-2(n≥3)，其中P1=

P2=14×14+34

所以Pn+34Pn-1=Pn-1+34Pn-2(n≥3

又由P2+34P1=1316+34×

所以Pn+3

所以Pn+34Pn-1=1(n≥2)

所以Pn-47=-34Pn-1-

又因为P1-47=14-47

所以数列Pn-47是首项为-9

故Pn-47=-9

所以Pn=-928-34n-1+

(3)①解当n为偶数时，Pn=47+373

最大值为P2=1316

当n为奇数时，Pn=47-3734n47

综上，数列{Pn}的最大值为1316，最小值为1

②证明对任意ε0，总存在正整数N0=log347ε3+1(其中

使得当nN0时，Pn-

=3734n

所以数列{Pn}收敛.

[规律方法]数列与概率相结合出现的频率较高，一般是根据题干得到数列的递推关系式，结合数列的相关知识进行求解，多通过构造的方法转化为等差、等比数列问题求解，求解过程中灵活运用数列的性质，准确应用相关的数列知识.

跟踪演练1(2024·苏州模拟)现有甲、乙两个盒子中都有大小、质地相同的2个红球和1个黑球.从两个盒子中各任取一个球交换，记为一次操作.重复进行n(n∈N*)次操作后，记甲盒子中黑球个数为Xn，甲盒中恰有1个黑球的概率为an，恰有2个黑球的概率为bn.

(1)求随机变量X1的分布列；

(2)求数列{an}的通项公式；

(3)求证：nΣi=16-10ai9aia

(1)解由题可知X1的可能取值为0，1，2，

根据题意得，X1=0即为甲盒中拿黑球乙盒中拿红球交换，X1=1即为甲盒中拿黑球乙盒中拿黑球交换或甲盒中拿红球乙盒中拿红球交换，X1=2即为甲盒中拿红球乙盒中拿黑球交换，则

P(X1=0)=13×23=

P(X1=1)=13×13+23×2

P(X1=2)=23×13=

X1的分布列为

X1

0

1

2

P

2

5

2

(2)解由全概率公式可知

P(Xn+1=1)=P(Xn=1)P(Xn+1=1|Xn=1)+P(Xn=2)P(Xn+1=1|Xn=2)+P(Xn=0)P(Xn+1=1|Xn=0)

=13×13+23×23P(Xn=1)+23×1P(

=59P(Xn=1)+23P(Xn=2)+23P(Xn

即an+1=59an+23bn+23(1-an-b

即an+1=-19an+2

an+1-35=-1

又a1=P(X1=1)=59

所以数列an-35是以a1-

-19

an-35=-245×-

即{an}的通项公式为an=35+2

(3)证明因为6-10ai

=-4

=135+