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函数中的同构问题
I考情分析
近年来同构函数频频出现在模拟试卷导数解答题中,高考真题中也出现过同构函数的身影,同构法是
不同的式子通过变形,转化为形式结构相同或者相近的式子,通过整体思想或换元等问题转化的方
法,这体现了转化思想.此方法常用于求解具有对数、指数等混合式子结构的等式、不等式问题中,或利
用函数单调性定义确定函数单调性,利用此方法求解某些导数压轴题往往能起到秒杀效果.
解题秘籍
(一)同构函数揭秘
同构式是指除了变量不同,其余地方均相同的表达式,导数中同构函数问题大多属于指对跨阶问题,比
如e+,与2+Inc属于“跨阶函数,而e+lna:属于“跳阶函数”,对于指对跳阶的函数问题,直接求解,
一般是通过隐零点代换来简化,并且有很大局限性,有些题若采用指对跨阶函数进行同构,可跳阶函
数问题转化为跨阶函数问题,从而使计算降阶,通常构造的同构函数有以下几类:/(,)=,e,/(c)=
xx
xlnx,f(x)=x+e,f(x)=x+Ina;,f(x)=e—x+a,/(rc)=In/—力+Q等,在一些求参数的取值范围、
零点个数、不等式证明、双变量问题中,利用复合函数单调性,复合函数零点个数等问题中常通过构造同
构函数求解.利用同构函数解题要注意一些常见的凑形技巧,如;。=einx,x=lne,xe==
X
x—\nx
题1(2024居陕西南西安市部分学校高三上学期考试)已知函数/⑺=Inx-3-;
(1)当a=2,求/(宏)的极值;
(2)若/Q)e-如恒成立,求a的取值范围.
-1-
题22(024届重庆市南开中学高三上学期第一次质量检测)已知函数/乃(=/+lnc+加在①=1处的切线
I和直线x-\-y=Q垂直.
1()求实数Q的值;
2()若对任意的^,^60(,2],,芹g,都有/()—1曲)11+忌小成立其(中e为自然对数的底数),
eJe2
求实数M的取值范围.
(二)趾。型同构
皿2(023届吉林看长春外国语学校高三上学期才试)已知函数/乃(=e—ace(是自然对数的底数).
⑴当a=l时,求/%()的极值点;
2()讨论函数/力()的单调性;
3()若g力()=exx(—l)—alnx+/a(?)有两个零点,求实数Q的取值范围.
•2•
(三)(劣+a)lnx型同构
用14(2023届福建省宁嬉市博健培文学校高三高考读最后一卷)已知函数/(%)=野+rn(meR).
(1)讨论函数/()的零点的个数;
(2)当小=0时,若对任意0,恒有*+1)/(。)(/+1),求实数a的取值范围.
(四)e+ac+b型同构
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