函数中的同构问题-2024高考数学压轴大题（学生版）.pdfVIP

函数中的同构问题

I考情分析

近年来同构函数频频出现在模拟试卷导数解答题中，高考真题中也出现过同构函数的身影，同构法是

不同的式子通过变形,转化为形式结构相同或者相近的式子,通过整体思想或换元等问题转化的方

法,这体现了转化思想.此方法常用于求解具有对数、指数等混合式子结构的等式、不等式问题中，或利

用函数单调性定义确定函数单调性，利用此方法求解某些导数压轴题往往能起到秒杀效果.

解题秘籍

(一)同构函数揭秘

同构式是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式，导数中同构函数问题大多属于指对跨阶问题，比

如e+,与2+Inc属于“跨阶函数，而e+lna:属于“跳阶函数”，对于指对跳阶的函数问题，直接求解,

一般是通过隐零点代换来简化，并且有很大局限性，有些题若采用指对跨阶函数进行同构，可跳阶函

数问题转化为跨阶函数问题，从而使计算降阶，通常构造的同构函数有以下几类：/(，)=，e,/(c)=

xx

xlnx,f(x)=x+e,f(x)=x+Ina;,f(x)=e—x+a,/(rc)=In/—力+Q等，在一些求参数的取值范围、

零点个数、不等式证明、双变量问题中，利用复合函数单调性,复合函数零点个数等问题中常通过构造同

构函数求解.利用同构函数解题要注意一些常见的凑形技巧，如；。=einx,x=lne,xe==

X

x—\nx

题1(2024居陕西南西安市部分学校高三上学期考试)已知函数/⑺=Inx-3-；

(1)当a=2,求/(宏)的极值;

(2)若/Q)e-如恒成立，求a的取值范围.

-1-

题22（024届重庆市南开中学高三上学期第一次质量检测）已知函数/乃（=/+lnc+加在①=1处的切线

I和直线x-\-y=Q垂直.

1（）求实数Q的值；

2（）若对任意的^,^60（,2］，，芹g,都有/（）—1曲）11+忌小成立其（中e为自然对数的底数），

eJe2

求实数M的取值范围.

（二）趾。型同构

皿2（023届吉林看长春外国语学校高三上学期才试）已知函数/乃（=e—ace（是自然对数的底数）.

⑴当a=l时，求/%（）的极值点；

2（）讨论函数/力（）的单调性；

3（）若g力（）=exx（—l）—alnx+/a（?）有两个零点,求实数Q的取值范围.

•2•

(三)(劣+a)lnx型同构

用14(2023届福建省宁嬉市博健培文学校高三高考读最后一卷)已知函数/(%)=野+rn(meR).

(1)讨论函数/()的零点的个数；

(2)当小=0时，若对任意0,恒有*+1)/(。)(/+1),求实数a的取值范围.

(四)e+ac+b型同构