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高三年级数学试卷
一.单项选择题(共7小题)
1.设、是非空集合,定义:且.已知,,则等于
A.,,B.,,C.,, D.,,
2.为等差数列的前项和,已知,则为
A.25 B.30 C.35 D.55
3.已知展开式各项系数之和为64,则展开式中的系数为
A.31 B.30 C.29 D.28
4.音乐是用声音来表达人的思想感情的一种艺术.声音的本质是声波,而声波在空气中的振动可以用三角函数来表示.在音乐中可以用形如的正弦型函数来表示单音,将三个或以上的单音相叠加为和弦.若某和弦由三个单音组成,其中一个单音可以用表示,另外两个单音的正弦型函数图象如图所示,则该和弦的一个周期可能为
A. B. C. D.
5.已知,分别是椭圆的左、右焦点,是上一点且与轴垂直,直线与的另一个交点为,若,则的离心率为
A. B. C. D.
6.设函数,,,若的图象与图象有且仅有两个不同的公共点,,,,则下列判断正确的是
A.当时,, B.当时,,
C.当时,, D.当时,,
7.在正四棱锥中,,,过侧棱的延长线上一点作与平面平行的平面,分别与侧棱,,的延长线交于点,,.设几何体和几何体的外接球半径分别为和,当最小时,
A. B. C. D.
二.多选题(共3小题)
8.下列说法正确的是
A.若样本数据,,,的样本方差为9,则数据,,,的方差为16
B.若一组样本数据的频率分布直方图为单峰不对称,且在左“拖尾”,则样本数据的平均数大于中位数
C.已知随机变量,若,则
D.运动员每次射击击中目标的概率为0.7,则在11次射击中,最有可能击中的次数是8次
9.已知实数,满足,则下列关系式恒成立的有
A. B. C. D.
10.已知定义在上的函数、,其导函数分别为、,,,且,则
A.的图象关于点中心对称 B.
C.(6)(2) D.(1)(3)
三.填空题(共3小题)
11.在平面直角坐标系中,单位圆上三点,,满足:点坐标为并且,在上的投影向量为,则.
12.一张方桌有四个座位,先坐在如图所示的座位上,,,
三人随机坐到其他三个位置上,则与相邻的概率为.
13.若,,使不等式成立,其中为自然对数的底数,则实数的取值范围是.
四.解答题(共4小题)
14.已知等差数列的前项和为,且,.当时,.
(1)求数列、的通项公式;
(2)若,求数列的前项和.
15.已知在三棱锥中,,,,,.
(1)证明:平面平面;
(2)求二面角的正弦值.
16.某学校工会组织趣味投篮比赛,每名选手只能在下列两种比赛方式中选择一种.
方式一:选手投篮3次.每次投中可得1分,未投中不得分,累计得分;
方式二:选手最多投3次.如第1次投中可进行第2次投篮,如第2次投中可进行第3次投篮.如某次未投中,则投篮中止.每投中1次可得2分,未投中不得分,累计得分.
已知甲选择方式一参加比赛,乙选择方式二参加比赛.假设甲,乙每次投中的概率均为,且每次投篮相互独立.
(Ⅰ)求甲得分不低于2分的概率;
(Ⅱ)求乙得分的分布列及期望;
(Ⅲ)甲,乙谁胜出的可能性更大?直接写出结论.
17.动圆与圆和圆都内切,记动圆圆心的轨迹为.
(1)求的方程;
(2)已知圆锥曲线具有如下性质:若圆锥曲线的方程为,则曲线上一点,处的切线方程为:,试运用该性质解决以下问题:点为直线上一点不在轴上),过点作的两条切线,,切点分别为,.
证明:直线过定点;
点关于轴的对称点为,连接交轴于点,设△,△的面积分别为,,求的最大值.
参考答案与试题解析
题号
1
2
3
4
5
6
7
答案
B
D
C
C
A
B
C
一.选择题(共7小题)
1.设、是非空集合,定义:且.已知,,则等于
A.,, B.,, C.,, D.,,
【分析】先分别求出集合,,然后结合集合的基本运算及已知定义即可求解.
【解答】解:,,
因为时,,当且仅当,即时取等号,
所以,,,,,,
则,,.
故选:.
【点评】本题以新定义为载体,主要考查了集合的基本运算,属于基础题.
2.为等差数列的前项和,已知,则为
A.25 B.30 C.35 D.55
【分析】由题意和等差数列的性质可得的值,而,代值计算可得.
【解答】解:由题意和等差数列的性质可得,解得,
故选:.
【点评】本题考查等差数列的求和公式和等差数列的性质,属基础题.
3.已知展开式各项系数之和为64,则展开式中的系数为
A.31 B.30 C.29 D.28
【分析】根据二项式定理相关知识可解.
【解答】解:令,可得展开式各项系数之和为,
得,
则展开式通项公式为中的系数为,的系数为,
则展开式中的系数为.
故选:.
【点评】本题
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