第17章+勾股定理→全等→等腰→动点应用四阶精讲++-2024—2025学年人教版数学八年级下册.docx

勾股定理→全等→等腰→动点应用四阶精讲

学习目标：

①掌握勾股定理?：能熟练运用勾股定理解决直角三角形边长计算、实际应用题及几何构造问题。

②理解全等三角形判定与性质?：灵活运用SAS、ASA、SSS等判定定理证明全等，并利用全等性质解题。

③?应用等腰三角形性质?：利用“等边对等角”“三线合一”解决角度、边长及动点问题。

④提升综合能力?：结合勾股定理、全等三角形、等腰三角形解决折叠、动点等复杂问题。

核心解题方法总结?

?勾股定理?：实际问题→几何建模→公式计算。

?全等三角形?：明确对应元素→选择判定定理→利用性质转移边角。

?等腰三角形?：三线合一简化计算，动点问题分类讨论。

?综合题?：拆解复杂问题为勾股、全等等基础模块，分步突破。

课前回顾：

在四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，AD＝52，CD＝5，∠ABC＝90°，求对角线BD的长．

有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1m，将它往前推送6m（水平距离BC＝6m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝3m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度？

模块一：?勾股定理的直接计算

勾股定理

（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．

如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．

（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．

（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a=c2-b2

（4）直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．

勾股定理的逆定理

（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．

（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．

注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．

勾股定理的应用

（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．

（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．

（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．

②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．

③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．

④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．

?解题规律?：

?找直角?：明确题目中的直角三角形（如梯子、秋千等）。

?标边长?：标记已知边长与未知边（直角边或斜边）。

?代公式?：直接代入勾股定理计算（如例题1、练习1）。

例题精讲：

【例1】如图，一架梯子AB长13米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙5米．

（1）这个梯子的顶端距地面有多高？

（2）如果梯子的顶端下滑了5米，那么梯子的底端在水平方向滑动了多少米？

对应练习：

【练1.1】 如图，一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米。

（1）这个梯子的顶端离地面有多高？

（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？

模块二：勾股定理的实际应用

知识清单：

实际问题建模：将生活场景抽象为直角三角形（如车辆行驶、灯光投影）。

方程思想：设未知数，利用勾股定理建立方程（如例题2）。

【规律方法】

?建模关键点?：识别垂直关系（如高度差、水平距离）。

?列方程?：根据勾股定理列方程求解未知量

例题精讲：

【例2-1】“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：1m/s＝3.6km/h）

【例2-2】如图，一艘轮船以30km/h的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报，某台风中心正以20km/h的途度由南向北移动，距台风中心200km的圆形区域（包括边界）都属台风影响区．当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离BC＝500km，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离BA＝300km．

（1）如果这艘轮船不改变航向，那么它会不会进入台风影响区？

（2）如果你认为这艘轮船会进入台风影响区，那么从接到警报开始，经过多长时间它就会进入台风影响区？

（3）假设轮