高等数学下册（第三版）课件：平面及其方程.pptx

一、平面的点法式方程

二、平面的一般方程

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平面及其方程

三、平面的截距式方程

四、特殊的平面方程

且垂直于非零

一、平面的点法式方程

设一平面通过已知点

求该平面的方程.

向量

则有

任取

①

称①式为平面的点法式方程,

从而

为平面P的法向量.

例1.求过三点

解:

的平面的方程.

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取该平面的法向量为

即

得平面的方程

二、平面的一般方程

设有三元一次方程

以上两式相减,得平面的点法式方程

此方程称为平面的一般

任取一组满足上述方程的数

则

显然方程②与此点法式方程等价,

②

的平面,

因此方程②的图形是

法向量为

方程.

平面的一般式方程:

注：

该平面的法向量为

例2.一平面通过两点

且垂直于平面∏:x+y+z=0,求其方程.

解:

和

(-1,0,-2),

法向量

所求平面

即

(1,1,1)

法向量

在平面上取一点

,则P0到平面的距离为

证

点

到平面

的距离

定理

例3求点

到平面

的距离

解

设

则

例4研究以下各组平面的位置关系：

解

故两平面斜交.

故两平面平行.

三、平面的截距式方程

此平面过点P(a,0,0),

注1

Q(0,b,0),R(0,0,c).

注2

a、b、c称为平面

在x、y、z轴上的截距.

例5

求平行于平面

6x+y+6z+5=0

且与z轴的截距

为1

的平面方程.

设所求平面方程为

解

即

由题设,得

于是

所求平面:

1

四、特殊平面的方程

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平面

1.平行于坐标轴的平面

∥z轴的平面

(C=0):

Ax+By+D=0

C=0

同理:

By+Cz+D=0

Ax+Cz+D=0

∥x轴的平面

(A=0):

∥y轴的平面

(B=0):

问：过三条坐标轴的平面方程分别是？

Cz+D=0

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2.垂直于坐标轴的平面

垂直于z轴的平面:

垂直于x轴的平面:

Ax+D=0

垂直于y轴的平面:

By+D=0

特别地：

yoz面:x=0

xoy面:z=0

xoz面:y=0

例6.求通过x轴和点M(4,–3,–1)的平面方程.

解

法一

设所求平面方程为

代入上式,

得

化简,得所求平面方程

法二：

法向量

故所求平面:

即

因平面通过x轴,

五、两平面的夹角

两平面法向量的夹角θ(为锐角)，

称为两平面的夹角

设

则

特别地,

例7求平面的夹角.

解

故两平面夹角为

小结

一、平面方程

2.一般式

1.点法式

3.截距式

二、几种特殊的平面

1.垂直于xoy面的平面

Ax+By+D=0

2.垂直于z轴的平面

z=D

四、点到平面的距离公式

三、平面与平面之间的位置关系

平面

平面

习题P25

1,2,3,8(1)(3),9.

例1.求平行于y轴且经过点A(1,2,3)

解

法向量可取为

故所求平面方程为

即

与B(2,0,-1)的平面方程.

备用题