复习重难点-第03讲：三角函数性质图像和三角恒等式变换高频考点突破（学生版）-新高二暑假衔接.docxVIP

第03讲：三角函数性质图像和三角恒等式变换高频考点突破

【考点梳理】

考点一：任意角的三角函数的定义

设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)，

点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sinα，即sinα＝y；点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cosα，即cosα＝x；把点P的纵坐标与横坐标的比值eq\f(y,x)叫做α的正切，记作tanα，即tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．

正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，分别记为：

正弦函数y＝sinx，x∈R；

余弦函数y＝cosx，x∈R；

正切函数y＝tanx，x≠eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)．

考点二：正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号

1．图示：

2．口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．

考点三：公式一

sin(α＋2kπ)＝sinα，cos(α＋2kπ)＝cosα，tan(α＋2kπ)＝tanα，

其中k∈Z.终边相同的角的同一三角函数的值相等．

考点四：同角三角函数的基本关系

1．平方关系：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，即sin2α＋cos2α＝1.

2．商数关系：同一个角α的正弦、余弦的商等于这个角的正切，即eq\f(sinα,cosα)＝tanα其中α≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．

考点五：同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：eq\f(sinα,cosα)＝tanα.

考点六：六组诱导公式

组数

一

二

三

四

五

六

角

2kπ＋α(k∈Z)

π＋α

－α

π－α

eq\f(π,2)－α

eq\f(π,2)＋α

正弦

sinα

－sinα

－sinα

sinα

cosα

cosα

余弦

cosα

－cosα

cosα

－cosα

sinα

－sinα

正切

tanα

tanα

－tanα

－tanα

口诀

函数名不变

符号看象限

函数名改变

符号看象限

技巧归纳：

1．诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限．

2．同角三角函数基本关系式的常用变形：

(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα；(sinα＋cosα)2＋(sinα－cosα)2＝2；(sinα＋cosα)2－(sinα－cosα)2＝4sinαcosα.

考点七．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质

函数

y＝sinx

y＝cosx

y＝tanx

图象

定义域

R

R

{x|x∈R且x≠eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z}

值域

[－1,1]

[－1,1]

R

单调性

在[－eq\f(π,2)＋2kπ，eq\f(π,2)＋2kπ](k∈Z)上递增；

在[eq\f(π,2)＋2kπ，eq\f(3π,2)＋2kπ](k∈Z)上递减

在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上递增；

在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上递减

在(－eq\f(π,2)＋kπ，eq\f(π,2)＋kπ)(k∈Z)上递增

最值

当x＝eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；

当x＝－eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1

当x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；

当x＝π＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1

奇偶性

奇函数

偶函数

奇函数

对称中心

(kπ，0)(k∈Z)

(eq\f(π,2)＋kπ，0)(k∈Z)

(eq\f(kπ,2)，0)(k∈Z)

对称轴方程

x＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)

x＝kπ(k∈Z)

周期

2π

2π

π

考点八.函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的图象的步骤如下：

考点九两角和与差的余弦公式

名称

简记符号

公式

使用条件

两角差的余弦公式

C(α－β)

cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ

α，β∈R

两角和的余弦公式

C(α＋β)

cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ

α，β∈R

考点十两角和与差的正弦公式

名称

简记符号

公式

使用条件

两角和的正弦

S(α＋β)

sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ

α，β∈R

两角差的正弦

S(α－β)

sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ

α，β∈R

考点十一：两角和与差的正切公式

名称

公式

简记符号

条件

两角和的正切

tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)

T(α＋β)

α，β，α＋β≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)

两角差的正切

tan(α－β)