2025高考数学二轮专题复习专题三数列微重点2子数列与增减项问题 .docxVIP

专题三微重点2子数列与增减项问题

(分值：50分)

1.(12分)(2024·保定模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=12n(n+1).

(1)求{an}的通项公式；(4分)

(2)若数列{bn}满足bn=1anan+2,n为奇数,2an,n为偶数,求

2.(12分)已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且4Sn=an2+2an-3(n∈N*

(1)求数列{an}的通项公式；(6分)

(2)将数列{an}和数列{2n}中所有的项按照从小到大的顺序排列得到一个新数列{bn}，求{bn}的前100项和.(6分)

3.(13分)(2024·重庆模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn=n(a1+an

(1)证明：数列{an}是等差数列；(6分)

(2)若数列{an}的公差不为0，数列{an}中的部分项组成等比数列ak1，ak2，ak3，…，akn，其中k1=1，k2=4，k3=10，求数列{k

4.(13分)设数列{an}的前n项和为Sn=(n-1)2n+1+2，n∈N*.

(1)求{an}的通项公式；(5分)

(2)若bn=ann，抽去数列{bn}中的第1项，第4项，第7项，…，第3n-2项，余下的项顺序不变，组成一个新数列{cn}，求{cn}的前2025项和T2025.(8

答案精析

1.解(1)当n=1时，a1=S1=1，

当n≥2时，an=Sn-Sn-1=12n(n+1)-12n(n-1)=

当n=1时，也符合an=n.

综上，an=n.

(2)由bn=1

?bn=1

则T2n=(b1+b3+…+b2n-1)+(b2+b4+…+b2n)=121-13+13-15+

=121-

=n2n+1

故{bn}的前2n项和

T2n=n2n+1

2.解(1)依题意an0，当n=1时，

4S1=4a1=a12+2a1

解得a1=3，

由4Sn=an2+2an-3，

得当n≥2时，

有4Sn-1=an-12+2an-1-3

①-②得，

4an=an2-an-12+2an

∴(an+an-1)(an-an-1-2)

=0(n≥2)，

∵an+an-10，

∴an-an-1=2(n≥2)，

∴数列{an}是首项为3，公差为2的等差数列，∴an=2n+1，n∈N*.

(2)由(1)得，a100=201，

又2720128，同时a93=18727，∴b100=a93，

∴b1+b2+…+b100=(a1+a2+…+a93)+(21+22+…+27)=93×(3+187)2+2×(1-27

∴{bn}的前100项和为9089.

3.(1)证明由Sn=n(

得2Sn=n(a1+an)，

所以2an+1=2Sn+1-2Sn=(n+1)(a1+an+1)-n(a1+an)，

即(n-1)an+1=nan-a1，

所以nan+2=(n+1)an+1-a1，

两式相减得nan+2+nan=2nan+1，

所以an+2+an=2an+1，

所以数列{an}是等差数列.

(2)解等差数列{an}的公差d≠0，其子数列{akn

其中k1=1，k2=4，k3=10，

可得ak1=a1，ak2=a4，a

且有a42=a1a

即(a1+3d)2=a1(a1+9d)，

解得a1=3d，

则an=a1+(n-1)d=(n+2)d，

子数列{akn}是首项为3d，公比为a

则akn=3d·2n-1=(kn+2)

可得kn=3·2n-1-2.

4.解(1)由Sn=(n-1)2n+1+2，

得a1=2，

Sn-1=(n-2)2n+2(n≥2)，

两式相减得an=n·2n，

当n=1时，a1=2，满足上式，

所以an=n·2n(n∈N*).

(2)由题知，bn=ann=2n，所以数列{cn}为22，23，25，26，28，29，

它的奇数项组成以4为首项，8为公比的等比数列，

偶数项组成以8为首项，8为公比的等比数列，

所以T2025=(c1+c3+c5+…+c2025)+(c2+c4+c6+…+c2024)

=4(1-81013

=4×81013

=5×8