空间四边形(平面四边形三棱锥四面体)的余弦定理.pdf

A

空间四边形的余弦定理：

AC

设与BD夹角为，则

2222

ADBCABDCBD

cos

2|AC||BD|

C

证明：

ACBDAC(ADAB)

ACADACAB

(ADDC)AD(ABBC)AB

ADABADDCABBC(*)22

222

又AC(ABBC)ABBC2ABBC2

222

AC(ADDC)ADDC2ADDC2

2222

ABBCADDC

ADDCABBC

相减，得2

ADBCABDC2222

ACBD

代入式得

(*)2

2222

ADBCABDC



cos

2|AC||BD|

这个式子被称为余弦定理的推广，适用于或空间四边，平面四边，三棱

锥或四面体，且与重合时退化为三角形的余弦定理。

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