2025高考数学二轮专题复习专题六解析几何微拓展4等角定理与蝴蝶定理 .docxVIP

微拓展4等角定理与蝴蝶定理

[考情分析]在近几年高考试题中，以“角相等”为背景的圆锥曲线试题频繁出现，综合性强，是考查学生能力的重要载体.本节课主要说明圆锥曲线中以“角相等”为命题背景的题型及求解策略.

考点一等角定理

例1求证：过椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)长轴上任意一点N(t，0)(0|t|a)的一条弦(非长轴)的端点A，B与点Ga2t，0的连线所成的角

[规律方法](1)双曲线中的等角定理

过双曲线x2a2-y2b2=1(a0，b0)的实轴所在直线上任意一点N(t，0)(t≠±a)的一条弦的端点A，B与Ga2t，0的连线所成的角，被焦点所在的直线平分，即

(2)抛物线中的等角定理

过抛物线y2=2px(p0)对称轴上任意一点N(a，0)(a0)的一条弦的端点A，B与对应点G(-a，0)的连线所成的角，被对称轴平分，即∠OGA=∠OGB，如图2所示.

图1图2

跟踪演练1在平面直角坐标系Oxy中，曲线C：y=x24与直线y=kx+a(a0)交于M，N

(1)当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；

(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？并说明理由.

考点二蝴蝶定理

设Q为圆内弦XY的中点，过Q作弦AB和CD，设AD和BC交XY于点P和R，则Q是PR的中点.

进一步，去掉Q为中点的条件，可得“坎迪定理”：

当Q不为中点时，满足1|XQ|-1|YQ|=1|PQ|

定理原本只是圆的背景，通过射影几何，我们可以非常容易地将蝴蝶定理推广到普通的任意圆锥曲线(包括椭圆、双曲线、抛物线，甚至退化到两条相交直线的情况).

圆锥曲线上弦XY的中点为Q，过Q作弦AB和CD，设AD和BC交XY于点P和R，则Q是PR的中点.

进一步，去掉Q为中点的条件，可得“坎迪定理”：

当Q不为中点时，满足1|XQ|-1|YQ|=1|PQ|

例2已知A，B分别为椭圆E：x2a2+y2=1(a1)的左、右顶点，G为E的上顶点，AG·GB=8，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E

(1)求E的方程；

(2)证明：直线CD过定点.

[规律方法](1)蝴蝶定理的方法可以作为了解问题的相关背景，预判结果，但不能作为相关解答.

(2)从蝴蝶定理的方法，我们实际上得到了定点和斜率之比的有关结论：

对于椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)，过Q(n，0)(0na)作x轴的垂线，所得图象如图所示

跟踪演练2已知椭圆Γ：x29+y25=1，过椭圆左焦点F任作一条弦PQ(不与长轴重合)，点A，B是椭圆的左、右顶点，设直线AP的斜率为k1，直线BQ的斜率为k2，则k1k2+1

1.已知点P(t，0)(t≠0)，直线AB过点Ea2t，0，且与椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)交于不同的两点A，

2.已知椭圆T：x2a2+y2b2=1(ab0)，四点P1(1，1)，P2(0，1)，P3-1，3

(1)求椭圆T的方程；

(2)蝴蝶定理：如图1，AB为圆O的一条弦，M是AB的中点，过M作圆O的两条弦CD，EF.若CF，ED分别与直线AB交于点P，Q，则|MP|=|MQ|.

该结论可推广到椭圆.如图2所示，假定在椭圆T中，弦AB的中点M的坐标为0，12，且两条弦CD，EF所在直线斜率存在，证明：|MP

答案精析

例1证明如图所示，只需证明

kGA=-kGB，

即kGA+kGB=0，

也即yAxA-

故只需证xB-xG

其中xG=a2

设AB所在直线的方程为x=my+t，

则xA=myA+t，xB=myB+t.

故只需证明

myB+

即只需证

2m+(t-xG)1yA+

联立x

得m2a2+1b2y2

由根与系数的关系得

yA+yB=-2mt

yAyB=t2

代入①式，等式左边=

2m+t

=2m+t

=2m+t

=2m-2m=0=右边.故命题得证.

跟踪演练1解(1)由题设可得

M(2a，a)，N(-2a，a)，

或M(-2a，a)，N(2a，a).

∵y=12x，故y=x24在x=2a处的导数值为a，C在(2a，a)处的切线方程为y-a=a(x-2

即ax-y-a=0.

故y=x24在x=-2a处的导数值为-a，C在(-2a，a)处的切线方程为y-a=-a(x+2a

即ax+y+a=0.

故所求切线方程为ax-y-a=0或ax+y+a=0.

(2)存在符合题意的点，证明如下：

设P(0，b)为符合题意的点，

M(x1，y1)，N(x2，y2)，

直线PM，PN的斜率分别为k1，k2，

将y=kx+a代入C的方程，

得x2-4kx-4a=0.

故x1+x2=4k，x1x2=-4a，

则k1+k2=y1-

=2

=k(

当b=-a时，k1+k2=0，则直线PM的倾斜角与直