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微专题3空间向量与距离、探究性问题
[考情分析]1.以空间几何体为载体,考查利用向量方法求空间中点到直线以及点到平面的距离,属于中等难度.2.以空间向量为工具,探究空间几何体中线、面的位置关系或空间角存在的条件,计算量较大,一般以解答题的形式考查,难度中等偏上.
考点一空间距离
1.点到直线的距离
直线l的单位方向向量为u,A是直线l上的任一点,P为直线l外一点,设AP=a,则点P到直线l的距离d=a2
2.点到平面的距离
平面α的法向量为n,A是平面α内任一点,P为平面α外一点,则点P到平面α的距离为d=|AP
考向1点到直线的距离
例1(2024·来宾模拟)棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F满足D1E=2ED,BF=2FB1,则点E
A.3355 B.
C.375 D
考向2点(线)到平面的距离
例2(1)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A在平面α内,其余顶点均在平面α的同侧,AB=3,AD=4,AA1=5,若顶点B到平面α的距离为2,顶点D到平面α的距离为2,则顶点A1到平面α的距离为.?
(2)(多选)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点E,O分别是A1B1,A1C1的中点,P在正方体内部且满足AP=34AB+12AD+2
A.点A到直线BE的距离是5
B.点O到平面ABC1D1的距离为2
C.平面A1BD与平面B1CD1间的距离为3
D.点P到直线AB的距离为25
考向3异面直线间的距离
例3在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为3的正方形,PA⊥底面ABCD,PA=6,点G在侧棱PB上,且满足2PG=GB,则异面直线PC和DG的距离为()
A.31414 B.
C.3217 D
[规律方法](1)求点到平面的距离有两种方法,一是利用空间向量点到平面的距离公式,二是利用等体积法.
(2)求直线到平面的距离的前提是直线与平面平行.求直线到平面的距离可转化成直线上任一点到平面的距离.
跟踪演练1(多选)(2024·扬州模拟)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P是线段AD1上的一点,点E是线段CC1上的一点,则下列说法正确的是()
A.存在点E,使得A1E⊥平面AB1D1
B.当点E为线段CC1的中点时,点B1到平面AED1的距离为2
C.点E到直线BD1的距离的最小值为2
D.当点E为线段CC1的中点时,存在点P,使得平面PBD与平面EBD的夹角为π
考点二空间中的探究性问题
与空间向量有关的探究性问题主要有两类:一类是探究线面的位置关系;另一类是探究线面角或两平面的夹角满足特定要求时的存在性问题.处理原则:先建立空间直角坐标系,引入参数(有些是题中已给出),设出关键点的坐标,然后探究这样的点是否存在,或参数是否满足要求,从而作出判断.
例4(2024·聊城模拟)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=2AB=2,点D,E,F分别是棱AC,CC1,C1B1的中点,点P满足AP=λAB+μAA1,其中λ∈[0,1],μ∈[0,
(1)当λ=μ=12时,求证:DP∥平面A1EF
(2)当λ=1时,是否存在点P使得平面ACP与平面A1EF的夹角的余弦值是155?若存在,指出点P的位置;若不存在,请说明理由
[规律方法]解决立体几何中探索性问题的基本方法
(1)通常假设问题中的数学对象存在或结论成立,再在这个前提下进行推理,如果能推出与条件吻合的数据或事实,说明假设成立,并可进一步证明,否则假设不成立.
(2)探索线段上是否存在满足条件的点时,一定注意三点共线的条件的应用.
跟踪演练2(2024·黔西南州模拟)如图所示为直四棱柱ABCD-A1B1C1D1,AB=AD=22,CB=CD=4,AA1=4,∠BCD=60°,M,M1分别是线段BC,B1C1的中点
(1)证明:BC⊥平面MM1D;
(2)求BC与平面BDA1所成角的正弦值,并判断线段BC上是否存在点P,使得PB1∥平面BDA1?若存在,求出BP的长;若不存在,请说明理由.
答案精析
例1A
例2(1)5116
例3A
跟踪演练1ABD
例4(1)证明当λ=μ=12时,AP=12AB+12AA1=
如图,连接CB1,DP,因为点D是AC的中点,P是AB1的中点,所以DP∥CB1,
因为点E,F分别是CC1,C1B1的中点,所以EF∥CB1,所以DP∥EF,
因为DP?平面A1EF,EF?平面A1EF,
所以DP∥平面A1EF.
(2)解存在,点P为BB1的靠近点B的四等分点.
当λ=1时,AP=AB+μAA1,即BP=μBB1,μ∈[0,1],所以点P
取A1C1的中点D1,连接DD1,DB,则DD1∥CC1,
在正三棱
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