2025高考数学二轮专题复习专题四立体几何微专题3空间向量与距离、探究性问题 .docxVIP

微专题3空间向量与距离、探究性问题

[考情分析]1.以空间几何体为载体，考查利用向量方法求空间中点到直线以及点到平面的距离，属于中等难度.2.以空间向量为工具，探究空间几何体中线、面的位置关系或空间角存在的条件，计算量较大，一般以解答题的形式考查，难度中等偏上.

考点一空间距离

1.点到直线的距离

直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的任一点，P为直线l外一点，设AP=a，则点P到直线l的距离d=a2

2.点到平面的距离

平面α的法向量为n，A是平面α内任一点，P为平面α外一点，则点P到平面α的距离为d=|AP

考向1点到直线的距离

例1(2024·来宾模拟)棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F满足D1E=2ED，BF=2FB1，则点E

A.3355 B.

C.375 D

考向2点(线)到平面的距离

例2(1)如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A在平面α内，其余顶点均在平面α的同侧，AB=3，AD=4，AA1=5，若顶点B到平面α的距离为2，顶点D到平面α的距离为2，则顶点A1到平面α的距离为.?

(2)(多选)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点E，O分别是A1B1，A1C1的中点，P在正方体内部且满足AP=34AB+12AD+2

A.点A到直线BE的距离是5

B.点O到平面ABC1D1的距离为2

C.平面A1BD与平面B1CD1间的距离为3

D.点P到直线AB的距离为25

考向3异面直线间的距离

例3在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为3的正方形，PA⊥底面ABCD，PA=6，点G在侧棱PB上，且满足2PG=GB，则异面直线PC和DG的距离为()

A.31414 B.

C.3217 D

[规律方法](1)求点到平面的距离有两种方法，一是利用空间向量点到平面的距离公式，二是利用等体积法.

(2)求直线到平面的距离的前提是直线与平面平行.求直线到平面的距离可转化成直线上任一点到平面的距离.

跟踪演练1(多选)(2024·扬州模拟)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P是线段AD1上的一点，点E是线段CC1上的一点，则下列说法正确的是()

A.存在点E，使得A1E⊥平面AB1D1

B.当点E为线段CC1的中点时，点B1到平面AED1的距离为2

C.点E到直线BD1的距离的最小值为2

D.当点E为线段CC1的中点时，存在点P，使得平面PBD与平面EBD的夹角为π

考点二空间中的探究性问题

与空间向量有关的探究性问题主要有两类：一类是探究线面的位置关系；另一类是探究线面角或两平面的夹角满足特定要求时的存在性问题.处理原则：先建立空间直角坐标系，引入参数(有些是题中已给出)，设出关键点的坐标，然后探究这样的点是否存在，或参数是否满足要求，从而作出判断.

例4(2024·聊城模拟)如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=2AB=2，点D，E，F分别是棱AC，CC1，C1B1的中点，点P满足AP=λAB+μAA1，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，

(1)当λ=μ=12时，求证：DP∥平面A1EF

(2)当λ=1时，是否存在点P使得平面ACP与平面A1EF的夹角的余弦值是155？若存在，指出点P的位置；若不存在，请说明理由

[规律方法]解决立体几何中探索性问题的基本方法

(1)通常假设问题中的数学对象存在或结论成立，再在这个前提下进行推理，如果能推出与条件吻合的数据或事实，说明假设成立，并可进一步证明，否则假设不成立.

(2)探索线段上是否存在满足条件的点时，一定注意三点共线的条件的应用.

跟踪演练2(2024·黔西南州模拟)如图所示为直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，AB=AD=22，CB=CD=4，AA1=4，∠BCD=60°，M，M1分别是线段BC，B1C1的中点

(1)证明：BC⊥平面MM1D；

(2)求BC与平面BDA1所成角的正弦值，并判断线段BC上是否存在点P，使得PB1∥平面BDA1？若存在，求出BP的长；若不存在，请说明理由.

答案精析

例1A

例2(1)5116

例3A

跟踪演练1ABD

例4(1)证明当λ=μ=12时，AP=12AB+12AA1=

如图，连接CB1，DP，因为点D是AC的中点，P是AB1的中点，所以DP∥CB1，

因为点E，F分别是CC1，C1B1的中点，所以EF∥CB1，所以DP∥EF，

因为DP?平面A1EF，EF?平面A1EF，

所以DP∥平面A1EF.

(2)解存在，点P为BB1的靠近点B的四等分点.

当λ=1时，AP=AB+μAA1，即BP=μBB1，μ∈[0，1]，所以点P

取A1C1的中点D1，连接DD1，DB，则DD1∥CC1，

在正三棱