2025高考数学二轮专题复习专题二 三角函数与解三角形微专题2解三角形 .docx

微专题2解三角形

[考情分析]解三角形主要考查一是求边长、角度、面积等，二是利用三角恒等变换，将三角函数与三角形相结合考查求解最值、范围等问题，综合性较强，中等难度.

考点一正弦定理、余弦定理

1.正弦定理：在△ABC中，asinA=bsinB=csinC=2R(R

2.余弦定理：在△ABC中，a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC.

3.三角形的面积公式：S=12absinC=12acsinB=12bcsin

例1(1)(2024·河南省九师联盟模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ba+c=1-sinCsinA+sinB，a=3，b=2

A.12 B.3

C.32 D.

答案D

解析由ba+c

得ba+c=1-ca+b，可得b2+c2

由余弦定理得cosA=b2+c

又0Aπ，

所以A=π3.又a=3，b=22

由asinA=

得sinB=bsinAa

(2)(2024·广州模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c=3，b=2，∠BAC的平分线AD的长为465，则BC边上的中线AH的长等于(

A.172 B.4

C.174 D.

答案A

解析由题意知，设∠BAD=∠CAD=α，则∠BAC=2α，如图所示，

由S△ABC=S△ABD+S△ACD可得12×3×2sin2α=12×3×465sinα+12×2×

整理得3sin2α=26sinα，

即sinα(3cosα-6)=0，

又因为sinα≠0，所以cosα=63

所以cos2α=2cos2α-1=13

由AH是BC边上的中线，

得AH=12(AB+

AH2=

=1

=14(b2+c2+2bccos2α

=1

=1

=14(4+9+4)=17

所以中线AH=172

[规律方法](1)三角形边角转化的主要策略

①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系.

②化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系.

(2)解决与平面几何有关的问题时，要把平面几何中的一些知识(相似三角形的边角关系、平行四边形的性质等)与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题.

跟踪演练1(1)(2024·广州统考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b2c2=tanBtanC，则

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形

D.等腰直角三角形

答案C

解析在△ABC中，由b2c2

得sin2Bsin2C=sinBcosBsin

整理得sinBcosB=sinCcosC，即sin2B=sin2C，而0Bπ，0Cπ，

则02B2π，02C2π，

因此2B=2C或2B+2C=π，

即B=C或B+C=π2

所以△ABC是等腰三角形或直角三角形.

(2)(2024·杭州模拟)若P为等边△ABC内一点，∠BPC=90°，∠APC=150°，则tan∠PCA等于()

A.32 B.3

C.39 D.2-

答案C

解析设△ABC的边长为2.

如图，设∠PCA=α，在Rt△PBC中，PC=BCcos(60°-α)=2sin(α+30°)，

在△PCA中，由正弦定理得ACsin∠APC=

即2sin150°=2sin(

化为cosα=33sinα，所以tanα=39

考点二正弦定理、余弦定理的综合应用

例2在△ABC中，角A，B，C所对的边分别记为a，b，c，且tanA(cosC+sinB)=cosB-sinC.

(1)证明：A+2B=π2

(2)若a=2，求b+c的取值范围.

(1)证明因为tanA(cosC+sinB)=cosB-sinC，

所以sinAcosA(cosC+sinB)=cosB-sin

即sinAcosC+sinAsinB=cosAcosB-cosAsinC，

即sinAcosC+cosAsinC=cosAcosB-sinAsinB，

所以sin(A+C)=cos(A+B)，

即sinB=sinπ2

又A∈(0，π)，B∈(0，π)，

所以B=π2+A+B或B+π2+A+B

即A=-π2(舍)或A+2B=π

所以A+2B=π2

(2)解由(1)得A+2B=π2

因为asinA=bsin

所以b=asinBsinA=2sinB

c=asinCsinA=2sinC

则b+c=2(sinB+cosB)cos2B=

又由0Bπ,0π2-2

所以π4B+π4

所以0cosB+π4

所以b+c的取值范围为(2，+∞).

[规律方法]解三角形中常见的求最值与范围问题的解题策略

(1)利用余弦定理，找三角形三边之间的关系，利用基本不等