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河南省南阳完全学校2024?2025学年高三第三次调研测试数学试卷
一、单选题(本大题共8小题)
1.已知集合,若,则(???)
A.1 B.2 C.3 D.4
2.某市高中数学统考,假设考试成绩服从正态分布.如果按照,,,的比例将考试成绩从高到低分为四个等级.若某同学考试成绩的等级为,则该同学的考试成绩可能为(????)(参考数据:)
A.120 B.90 C.80 D.60
3.已知函数.若曲线和在公共点处有相同的切线,则a,b的值分别为(????)
A. B. C. D.
4.已知正四棱柱中,(点E在棱BB1上),,则该四棱柱被过点,,的平面截得的截面面积为
A. B.36 C. D.
5.已知抛物线上两点满足,若线段的中点的纵坐标的最小值为4,则(????)
A.2 B.4 C.5 D.6
6.在中,,,点在线段上.当取得最小值时,(????)
A. B. C. D.
7.假设甲和乙刚开始的“日能力值”相同,之后甲通过学习,“日能力值”都在前一天的基础上进步2%,而乙疏于学习,“日能力值”都在前一天的基础上退步1%.那么,大约需要经过(????)天,甲的“日能力值”是乙的20倍(参考数据:,,)
A.23 B.100 C.150 D.232
8.函数的部分图像如图中实线所示,图中圆与的图像交于两点,且在轴上,则下列说法中不正确的是(????)
A.函数的最小正周期是
B.函数在上单调递减
C.函数的图像向左平移个单位后关于直线对称
D.若圆半径为,则函数的解析式为
二、多选题(本大题共3小题)
9.已知m,n是异面直线,,,那么(????)
A.当,或时,
B.当,且时,
C.当时,,或
D.当,不平行时,m与不平行,且n与不平行
10.甲盒子中有5个红球,2个白球和3个黑球,乙盒子中有4个红球,3个白球和3个黑球.先从甲盒子中随机取出一球放入乙盒子,分别以,和表示由甲盒子取出的球是红球,白球和黑球的事件;再从乙盒子中随机取出一球,以表示由乙盒子取出的球是红球的事件,则下列结论中正确的是()
A.,,是两两互斥的事件 B.
C.事件与事件相互独立 D.
11.已知椭圆:的左右焦点分别为,,将曲线上所有点的横坐标变为原来的倍,纵坐标变为原来的倍,得到曲线,则下列说法正确的是(???)
A.曲线为圆
B.曲线的面积可能与曲线面积相等
C.曲线与曲线的离心率分别为,则
D.若的四个顶点构成的四边形面积为,则的离心率为
三、填空题(本大题共3小题)
12.的展开式的第8项是.
13.已知,且满足,则.
14.已知函数及其导函数的定义域均为,若是偶函数,,,,且,则下列结论正确的是.(填所有正确结论的序号)①;②;③;④.
四、解答题(本大题共5小题)
15.各项均为正数的等比数列首项,为其前n项和,若,,成等差数列.
(1)求数列的通项公式;
(2),,记数列的前n项和.若,求整数n的最大值.
16.已知函数,其中e为自然对数的底数.
(1)若曲线在点处的切线与直线l:垂直,求实数a的值;
(2)求函数的单调区间;
17.如图,在四棱锥中,面,且,分别为的中点.
(1)求证:平面;
(2)在平面内是否存在点,满足,若不存在,请简单说明理由;若存在,请写出点的轨迹图形形状.
18.已知椭圆:的离心率为,椭圆的动弦过椭圆的右焦点,当垂直轴时,椭圆在,处的两条切线的交点为.
(1)求点的坐标;
(2)若直线的斜率为,过点作轴的垂线,点为上一点,且点的纵坐标为,直线与椭圆交于,两点,求四边形面积的最小值.
19.某制药公司研制了一款针对某种病毒的新疫苗.该病毒一般通过病鼠与白鼠之间的接触传染,现有只白鼠,每只白鼠在接触病鼠后被感染的概率为,被感染的白鼠数用随机变量表示,假设每只白鼠是否被感染之间相互独立.
(1)若,求数学期望;
(2)接种疫苗后的白鼠被病鼠感染的概率为,现有两个不同的研究团队理论研究发现概率与参数的取值有关.团队提出函数模型为,团队提出函数模型为.现将白鼠分成10组,每组10只,进行实验,随机变量表示第组被感染的白鼠数,现将随机变量的实验结果绘制成频数分布图,如图所示.假设每组白鼠是否被感染之间相互独立.
①试写出事件“”发生的概率表达式(用表示,组合数不必计算);
②在统计学中,若参数时使得概率最大,称是的最大似然估计.根据这一原理和团队,提出的函数模型,判断哪个团队的函数模型可以求出的最大似然估计,并求出估计值.
参考数据:.
参考答案
1.【答案】B
【详解】由题意可得,且,解得.
故选B.
2.【答案】B
【详解】数学测试成绩服从正态分布,则,,
由于等级的概率之和为,
所以,
又因为,
即,
故为A等级,为等级,为等级,为等级,
结合选项可知:
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