河南省南阳完全学校2024−2025学年高三第三次调研测试 数学试卷及答案.docx

河南省南阳完全学校2024?2025学年高三第三次调研测试数学试卷

一、单选题（本大题共8小题）

1．已知集合，若，则（???）

A．1 B．2 C．3 D．4

2．某市高中数学统考，假设考试成绩服从正态分布.如果按照，，，的比例将考试成绩从高到低分为四个等级.若某同学考试成绩的等级为，则该同学的考试成绩可能为（????）（参考数据：）

A．120 B．90 C．80 D．60

3．已知函数.若曲线和在公共点处有相同的切线，则a，b的值分别为（????）

A． B． C． D．

4．已知正四棱柱中，(点E在棱BB1上)，，则该四棱柱被过点，，的平面截得的截面面积为

A． B．36 C． D．

5．已知抛物线上两点满足，若线段的中点的纵坐标的最小值为4，则（????）

A．2 B．4 C．5 D．6

6．在中，，，点在线段上.当取得最小值时，（????）

A． B． C． D．

7．假设甲和乙刚开始的“日能力值”相同，之后甲通过学习，“日能力值”都在前一天的基础上进步2%，而乙疏于学习，“日能力值”都在前一天的基础上退步1%.那么，大约需要经过（????）天，甲的“日能力值”是乙的20倍（参考数据：，，）

A．23 B．100 C．150 D．232

8．函数的部分图像如图中实线所示，图中圆与的图像交于两点，且在轴上，则下列说法中不正确的是（????）

A．函数的最小正周期是

B．函数在上单调递减

C．函数的图像向左平移个单位后关于直线对称

D．若圆半径为，则函数的解析式为

二、多选题（本大题共3小题）

9．已知m，n是异面直线，，，那么（????）

A．当，或时，

B．当，且时，

C．当时，，或

D．当，不平行时，m与不平行，且n与不平行

10．甲盒子中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙盒子中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲盒子中随机取出一球放入乙盒子，分别以，和表示由甲盒子取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙盒子中随机取出一球，以表示由乙盒子取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（）

A．，，是两两互斥的事件 B．

C．事件与事件相互独立 D．

11．已知椭圆：的左右焦点分别为，，将曲线上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标变为原来的倍，得到曲线，则下列说法正确的是（???）

A．曲线为圆

B．曲线的面积可能与曲线面积相等

C．曲线与曲线的离心率分别为，则

D．若的四个顶点构成的四边形面积为，则的离心率为

三、填空题（本大题共3小题）

12．的展开式的第8项是．

13．已知，且满足，则．

14．已知函数及其导函数的定义域均为，若是偶函数，，，，且，则下列结论正确的是．（填所有正确结论的序号）①；②；③；④．

四、解答题（本大题共5小题）

15．各项均为正数的等比数列首项，为其前n项和，若，，成等差数列.

(1)求数列的通项公式；

(2)，，记数列的前n项和．若，求整数n的最大值.

16．已知函数，其中e为自然对数的底数.

(1)若曲线在点处的切线与直线l：垂直，求实数a的值；

(2)求函数的单调区间；

17．如图，在四棱锥中，面，且，分别为的中点.

（1）求证：平面；

（2）在平面内是否存在点，满足，若不存在，请简单说明理由；若存在，请写出点的轨迹图形形状.

18．已知椭圆：的离心率为，椭圆的动弦过椭圆的右焦点，当垂直轴时，椭圆在，处的两条切线的交点为．

(1)求点的坐标；

(2)若直线的斜率为，过点作轴的垂线，点为上一点，且点的纵坐标为，直线与椭圆交于，两点，求四边形面积的最小值．

19．某制药公司研制了一款针对某种病毒的新疫苗.该病毒一般通过病鼠与白鼠之间的接触传染，现有只白鼠，每只白鼠在接触病鼠后被感染的概率为，被感染的白鼠数用随机变量表示，假设每只白鼠是否被感染之间相互独立．

（1）若，求数学期望；

（2）接种疫苗后的白鼠被病鼠感染的概率为，现有两个不同的研究团队理论研究发现概率与参数的取值有关．团队提出函数模型为，团队提出函数模型为．现将白鼠分成10组，每组10只，进行实验，随机变量表示第组被感染的白鼠数，现将随机变量的实验结果绘制成频数分布图，如图所示．假设每组白鼠是否被感染之间相互独立．

①试写出事件“”发生的概率表达式（用表示，组合数不必计算）；

②在统计学中，若参数时使得概率最大，称是的最大似然估计．根据这一原理和团队，提出的函数模型，判断哪个团队的函数模型可以求出的最大似然估计，并求出估计值．

参考数据：．

参考答案

1．【答案】B

【详解】由题意可得，且，解得．

故选B.

2．【答案】B

【详解】数学测试成绩服从正态分布，则，，

由于等级的概率之和为，

所以，

又因为，

即，

故为A等级，为等级，为等级，为等级，

结合选项可知：