重积分的几何应用.pptVIP

重积分的应用所求量是定出积分限、计算要简便分布在有界闭域上的整体量1.能用重积分解决的实际问题的特点从定积分定义出发建立积分式画出积分域、选择坐标系、确定积分序、3.解题要点对区域具有可加性用微元分析法(元素法)2.用重积分解决问题的方法贰壹叁一、立体体积曲顶柱体的顶为连续曲面则其体积为占有空间有界域?的立体的体积为例1.求曲面任一点的切平面与曲面所围立体的体积V.解:曲面的切平面方程为它与曲面的交线在xoy面上的投影为(记所围域为D)在点例2.求半径为a的球面与半顶角为?的内接锥面所围成的立体的体积.解:在球坐标系下空间立体所占区域为则立体体积为二、曲面的面积设光滑曲面则面积A可看成曲面上各点处小切平面的面积dA无限积累而成.设它在D上的投影为d?,(称为面积元素)则故有曲面面积公式若光滑曲面方程为则有即若光滑曲面方程为若光滑曲面方程为隐式则则有且例3.计算双曲抛物面被柱面所截解:曲面在xoy面上投影为则出的面积A.例4.计算半径为a的球的表面积.解:设球面方程为球面面积元素为方法2利用直角坐标方程.(见书P167)方法1利用球坐标方程.(t为时间)的雪堆在融化过程中,其侧面满足方程设长度单位为厘米,时间单位为小时,设有一高度为已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数0.9),问高度为130cm的雪堆全部融化需要多少小时?(2001考研)练习题