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2025高考数学二轮专题复习专题四立体几何微重点2截面、交线问题 .docxVIP

2025高考数学二轮专题复习专题四立体几何微重点2截面、交线问题 .docx

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微重点2截面、交线问题

[考情分析]“截面、交线”问题是高考立体几何问题具有创新意识的题型,它渗透了一些动态的线、面等元素,给静态的立体几何题赋予了活力.求截面、交线问题,一是与解三角形、多边形面积、扇形弧长、面积等相结合求解,二是利用空间向量的坐标运算求解.

考点一截面问题

考向1多面体中的截面问题

例1(2024·安庆模拟)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别为棱AB,AD的中点,过点E,F,C1三点作该正方体的截面,则()

A.该截面多边形是四边形

B.该截面多边形与棱BB1的交点是棱BB1的一个三等分点

C.A1C⊥平面C1EF

D.平面AB1D1∥平面C1EF

考向2旋转体的截面问题

例2(多选)[勒洛四面体]勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”,它能在两个平行平面间自由转动,并且始终保持与两平面都接触,因此它能像球一样来回滚动(如图甲),利用这一原理,科技人员发明了转子发动机.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心,以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体,如图乙所示.若正四面体ABCD的棱长为2,则下列说法错误的是()

A.勒洛四面体ABCD被平面ABC截得的截面面积是8(π-3)

B.勒洛四面体ABCD内切球的半径是4-6

C.勒洛四面体的截面面积的最大值为2π-23

D.勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为2-6

[规律方法]作几何体截面的方法

(1)利用平行直线找截面.

(2)利用相交直线找截面.

跟踪演练1(1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,E为棱BB1的中点,则平面AED1截正方体ABCD-A1B1C1D1的截面面积为()

A.52 B.7

C.4 D.9

(2)(多选)如图,棱长为2的正四面体ABCD中,M,N分别为棱AD,BC的中点,O为线段MN的中点,球O的表面正好经过点M,则下列结论中正确的是()

A.AO⊥平面BCD

B.球O的体积为2

C.球O被平面BCD截得的截面面积为4π

D.球O被正四面体ABCD表面截得的截面周长为8

考点二交线问题

考向1多面体中的交线问题

例3在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q,R分别是AB,AD,B1C1的中点,设过P,Q,R的截面与平面ADD1A1以及平面ABB1A1的交线分别为l,m,则l,m所成的角为()

A.90° B.30°

C.45° D.60°

考向2与旋转体有关的交线问题

例4在正四棱锥P-ABCD中,已知PA=AB=2,O为底面ABCD的中心,以O为球心作一个半径为233的球,则该球的球面与侧面PCD的交线长度为(

A.6π6 B.

C.6π3 D

[规律方法]找交线的方法

(1)线面交点法:各棱线与截平面的交点.

(2)面面交点法:各棱面与截平面的交线.

跟踪演练2(1)(2024·枣庄模拟)在侧棱长为2的正三棱锥A-BCD中,点E为棱BC上一点,且AD⊥AE,则以A为球心,2为半径的球面与该三棱锥三个侧面交线长的和为(

A.32π4 B.

C.32π2 D.

(2)(2024·汕头模拟)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱CC1的中点,记平面AD1E与平面ABCD的交线为l1,平面AD1E与平面ABB1A1的交线为l2,若直线AB分别与l1,l2所成的角为α,β,则tanα=,tan(α+β)=.?

答案精析

例1B[对于A,将线段EF向两边延长,分别与棱CB的延长线,棱CD的延长线交于G,H,

连接C1G,C1H,分别与棱BB1,DD1交于P,Q,得到截面多边形C1PEFQ是五边形,A错误;

对于B,易知△AEF和△BEG全等且都是等腰直角三角形,

所以GB=AF=12BC

所以BPCC1=GBGC=13

点P是棱BB1的一个三等分点,

B正确;

对于C,因为A1B1⊥平面BCC1B1,BC1?平面BCC1B1,

所以A1B1⊥BC1,

又BC1⊥B1C,A1B1∩B1C=B1,A1B1,B1C?平面A1B1C,所以BC1⊥平面A1B1C,

因为A1C?平面A1B1C,所以A1C⊥BC1,同理可证A1C⊥BD,

因为BD∩BC1=B,BD,BC1?平面BC1D,所以A1C⊥平面BC1D,

因为平面BC1D与平面C1EF相交,所以A1C与平面C1EF不垂直,C错误;

对于D,易知BC1∥AD1,BD∥B1D1,所以A1C⊥AD1,A1C⊥B1D1,

又AD1∩B1D1=D1,AD1,B1D1?AB1D1,所以A1C⊥平面AB1D1,

结合C结论,所以平面C1EF与平面AB1D1不平行,D错误.]

例2AB[对于选项A,截面示意图如图,

S截=(S扇形ABC-S△ABC)·3+

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