2025高考数学二轮专题复习专题四立体几何微重点2截面、交线问题 .docxVIP

微重点2截面、交线问题

[考情分析]“截面、交线”问题是高考立体几何问题具有创新意识的题型，它渗透了一些动态的线、面等元素，给静态的立体几何题赋予了活力.求截面、交线问题，一是与解三角形、多边形面积、扇形弧长、面积等相结合求解，二是利用空间向量的坐标运算求解.

考点一截面问题

考向1多面体中的截面问题

例1(2024·安庆模拟)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别为棱AB，AD的中点，过点E，F，C1三点作该正方体的截面，则()

A.该截面多边形是四边形

B.该截面多边形与棱BB1的交点是棱BB1的一个三等分点

C.A1C⊥平面C1EF

D.平面AB1D1∥平面C1EF

考向2旋转体的截面问题

例2(多选)[勒洛四面体]勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动(如图甲)，利用这一原理，科技人员发明了转子发动机.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体，如图乙所示.若正四面体ABCD的棱长为2，则下列说法错误的是()

A.勒洛四面体ABCD被平面ABC截得的截面面积是8(π-3)

B.勒洛四面体ABCD内切球的半径是4-6

C.勒洛四面体的截面面积的最大值为2π-23

D.勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为2-6

[规律方法]作几何体截面的方法

(1)利用平行直线找截面.

(2)利用相交直线找截面.

跟踪演练1(1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，E为棱BB1的中点，则平面AED1截正方体ABCD-A1B1C1D1的截面面积为()

A.52 B.7

C.4 D.9

(2)(多选)如图，棱长为2的正四面体ABCD中，M，N分别为棱AD，BC的中点，O为线段MN的中点，球O的表面正好经过点M，则下列结论中正确的是()

A.AO⊥平面BCD

B.球O的体积为2

C.球O被平面BCD截得的截面面积为4π

D.球O被正四面体ABCD表面截得的截面周长为8

考点二交线问题

考向1多面体中的交线问题

例3在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q，R分别是AB，AD，B1C1的中点，设过P，Q，R的截面与平面ADD1A1以及平面ABB1A1的交线分别为l，m，则l，m所成的角为()

A.90° B.30°

C.45° D.60°

考向2与旋转体有关的交线问题

例4在正四棱锥P-ABCD中，已知PA=AB=2，O为底面ABCD的中心，以O为球心作一个半径为233的球，则该球的球面与侧面PCD的交线长度为(

A.6π6 B.

C.6π3 D

[规律方法]找交线的方法

(1)线面交点法：各棱线与截平面的交点.

(2)面面交点法：各棱面与截平面的交线.

跟踪演练2(1)(2024·枣庄模拟)在侧棱长为2的正三棱锥A-BCD中，点E为棱BC上一点，且AD⊥AE，则以A为球心，2为半径的球面与该三棱锥三个侧面交线长的和为(

A.32π4 B.

C.32π2 D.

(2)(2024·汕头模拟)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，记平面AD1E与平面ABCD的交线为l1，平面AD1E与平面ABB1A1的交线为l2，若直线AB分别与l1，l2所成的角为α，β，则tanα=，tan(α+β)=.?

答案精析

例1B[对于A，将线段EF向两边延长，分别与棱CB的延长线，棱CD的延长线交于G，H，

连接C1G，C1H，分别与棱BB1，DD1交于P，Q，得到截面多边形C1PEFQ是五边形，A错误；

对于B，易知△AEF和△BEG全等且都是等腰直角三角形，

所以GB=AF=12BC

所以BPCC1=GBGC=13

点P是棱BB1的一个三等分点，

B正确；

对于C，因为A1B1⊥平面BCC1B1，BC1?平面BCC1B1，

所以A1B1⊥BC1，

又BC1⊥B1C，A1B1∩B1C=B1，A1B1，B1C?平面A1B1C，所以BC1⊥平面A1B1C，

因为A1C?平面A1B1C，所以A1C⊥BC1，同理可证A1C⊥BD，

因为BD∩BC1=B，BD，BC1?平面BC1D，所以A1C⊥平面BC1D，

因为平面BC1D与平面C1EF相交，所以A1C与平面C1EF不垂直，C错误；

对于D，易知BC1∥AD1，BD∥B1D1，所以A1C⊥AD1，A1C⊥B1D1，

又AD1∩B1D1=D1，AD1，B1D1?AB1D1，所以A1C⊥平面AB1D1，

结合C结论，所以平面C1EF与平面AB1D1不平行，D错误.]

例2AB[对于选项A，截面示意图如图，

S截=(S扇形ABC-S△ABC)·3+