河北省2024届高三数学下学期3月大数据应用调研联合测评六.docxVIP

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数学试卷

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．

第I卷（选择题共58分）

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知，是全集的两个非空子集，若，则下列说法可能正确的是（）

A． B． C． D．

2．已知，则下列结论一定正确的是（）

A． B． C． D．

3．若，为虚数单位，则（）

A． B． C．1 D．

4．2023年10月31日，神州十六号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，激发了学生对航天的热爱．某校组织高中学生参加航天知识竞赛，现从中随机抽取100名学生成绩的频率分布直方图如图所示，设这组样本数据的分位数为，众数为，则（）

A．， B．， C．， D．，

5．已知，则（）

A． B． C． D．

6．如图，已知圆柱的底面半径和母线长均为1，，分别为上、下底面圆周上的点，若异面直线与所成角为，则（）

A．1 B． C．1或2 D．2或

7．已知椭圆：的离心率为，左顶点是，左、右焦点分别是，，是在第一象限上的一点，直线与的另一个交点为．若，则直线的斜率为（）

A． B． C． D．

8．已知实数，，且，为自然对数的底数，则（）

A． B． C． D．

二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9．已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，则（）

A．4为的一个周期

B．

C．由，可知

D．函数的所有零点之和为0

10．已知函数（，）在区间上单调，且满足，则（）

A．

B．若，则的最小正周期为

C．关于的方程在区间上最多有4个不相等的实数解

D．若在区间上恰有5个零点，则的取值范围为

11．在数列中，对于任意的都有，且，则（）

A．对于任意的，都有 B．对于任意的，不可能为常数列

C．若，则为递增数列 D．若，则当时，

第II卷（非选择题共92分）

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）

12．已知向量，，为坐标原点，在轴上找一个点，使得取最小值，则点的坐标是________．

13．等差数列的前项和为，，则________．

14．若一个两位正整数的个位数为4，则称为“好数”，若，且，为正整数，则称数对为“友好数对”，规定：，例如，称数对为“友好数对”，，则小于70的“好数”中，所有“友好数对”的的最大值为________．

四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15．（13分）

在中，内角，，的对边分别为，，，且．

（1）求；

（2）若线段上一点满足，，求的长度．

16．（15分）

如图，在三棱柱中，平面平面，，，．

（1）若，分别为，的中点，证明：平面；

（2）当直线与平面所成角的正弦值为时，求平面与平面夹角的余弦值．

17．（15分）

在平面直角坐标系中，双曲线：（，）的离心率为，实轴长为4．

（1）求的方程；

（2）如图，为的下顶点，直线过点且垂直于轴（位于原点与上顶点之间），过的直线交于，两点，直线，分别与交于，两点，若，，，四点共圆，求点的坐标．

18．（17分）

某种抗病毒疫苗进行动物实验，将疫苗注射到甲、乙两地的一些小白鼠体内，小白鼠血样的某项指标值满足时，小白鼠产生抗体．从注射过疫苗的小白鼠中用分层随机抽样的方法抽取了210只进行值检测，其中甲地120只小白鼠的值平均数和方差分别为14和6，乙地90只小白鼠的值平均数和方差分别为21和17，这210只小白鼠的值平均数与方差分别为，（与均取整数）．用这210只小白鼠为样本估计注射过疫苗小白鼠的总体，设．

（1）求，；

（2）小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立，已知注射过疫苗的只小白鼠中有102只产生抗体，试估计的可能值（以使得最大的的值作为的估计值）；

（3）对这些小白鼠进行第二次疫苗注射后，有的小白鼠产生了抗体，再对这些小白鼠血样的值进行分组检测，若每组只小白鼠混合血样的值在特定区间内，就认为这只小白鼠全部产生抗体，否则要对只小白鼠逐个检测．已知单独检验一只小白鼠血样的检测费用为10元，只小白鼠混合血样的检测费用为元．试给出的估计值，使平均每只小白鼠的检测费用最小，并求出这个最小值（精确到0.1元）．

附：若，则，．

参考数据：，，，．

19．（17分）

已知函数，．

（1）若是的极值点，求的值；

（2）判断的单调性；

（3）已知有两个解，．

（i）直接写出的取值范围（无需过程）；

（ii）为正实数，若对于符合题意的任意，，当时，都有，求的取值范围．

参考答案及解析