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数学试卷
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间120分钟.
第I卷(选择题共58分)
一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知,是全集的两个非空子集,若,则下列说法可能正确的是()
A. B. C. D.
2.已知,则下列结论一定正确的是()
A. B. C. D.
3.若,为虚数单位,则()
A. B. C.1 D.
4.2023年10月31日,神州十六号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆,激发了学生对航天的热爱.某校组织高中学生参加航天知识竞赛,现从中随机抽取100名学生成绩的频率分布直方图如图所示,设这组样本数据的分位数为,众数为,则()
A., B., C., D.,
5.已知,则()
A. B. C. D.
6.如图,已知圆柱的底面半径和母线长均为1,,分别为上、下底面圆周上的点,若异面直线与所成角为,则()
A.1 B. C.1或2 D.2或
7.已知椭圆:的离心率为,左顶点是,左、右焦点分别是,,是在第一象限上的一点,直线与的另一个交点为.若,则直线的斜率为()
A. B. C. D.
8.已知实数,,且,为自然对数的底数,则()
A. B. C. D.
二、选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.已知函数的定义域为,且为奇函数,为偶函数,则()
A.4为的一个周期
B.
C.由,可知
D.函数的所有零点之和为0
10.已知函数(,)在区间上单调,且满足,则()
A.
B.若,则的最小正周期为
C.关于的方程在区间上最多有4个不相等的实数解
D.若在区间上恰有5个零点,则的取值范围为
11.在数列中,对于任意的都有,且,则()
A.对于任意的,都有 B.对于任意的,不可能为常数列
C.若,则为递增数列 D.若,则当时,
第II卷(非选择题共92分)
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.已知向量,,为坐标原点,在轴上找一个点,使得取最小值,则点的坐标是________.
13.等差数列的前项和为,,则________.
14.若一个两位正整数的个位数为4,则称为“好数”,若,且,为正整数,则称数对为“友好数对”,规定:,例如,称数对为“友好数对”,,则小于70的“好数”中,所有“友好数对”的的最大值为________.
四、解答题(本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)
在中,内角,,的对边分别为,,,且.
(1)求;
(2)若线段上一点满足,,求的长度.
16.(15分)
如图,在三棱柱中,平面平面,,,.
(1)若,分别为,的中点,证明:平面;
(2)当直线与平面所成角的正弦值为时,求平面与平面夹角的余弦值.
17.(15分)
在平面直角坐标系中,双曲线:(,)的离心率为,实轴长为4.
(1)求的方程;
(2)如图,为的下顶点,直线过点且垂直于轴(位于原点与上顶点之间),过的直线交于,两点,直线,分别与交于,两点,若,,,四点共圆,求点的坐标.
18.(17分)
某种抗病毒疫苗进行动物实验,将疫苗注射到甲、乙两地的一些小白鼠体内,小白鼠血样的某项指标值满足时,小白鼠产生抗体.从注射过疫苗的小白鼠中用分层随机抽样的方法抽取了210只进行值检测,其中甲地120只小白鼠的值平均数和方差分别为14和6,乙地90只小白鼠的值平均数和方差分别为21和17,这210只小白鼠的值平均数与方差分别为,(与均取整数).用这210只小白鼠为样本估计注射过疫苗小白鼠的总体,设.
(1)求,;
(2)小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立,已知注射过疫苗的只小白鼠中有102只产生抗体,试估计的可能值(以使得最大的的值作为的估计值);
(3)对这些小白鼠进行第二次疫苗注射后,有的小白鼠产生了抗体,再对这些小白鼠血样的值进行分组检测,若每组只小白鼠混合血样的值在特定区间内,就认为这只小白鼠全部产生抗体,否则要对只小白鼠逐个检测.已知单独检验一只小白鼠血样的检测费用为10元,只小白鼠混合血样的检测费用为元.试给出的估计值,使平均每只小白鼠的检测费用最小,并求出这个最小值(精确到0.1元).
附:若,则,.
参考数据:,,,.
19.(17分)
已知函数,.
(1)若是的极值点,求的值;
(2)判断的单调性;
(3)已知有两个解,.
(i)直接写出的取值范围(无需过程);
(ii)为正实数,若对于符合题意的任意,,当时,都有,求的取值范围.
参考答案及解析
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