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考生注意:
1.答题前,考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚;
2.每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,在试卷上作答无效;
3.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。
4.试卷满分150分,考试时间120分钟。
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若命题“任意正数x,y,不等式恒成立”是真命题,则正实数a的取值范围是()
A. B. C. D.
2.若,则关于x的不等式的解集是()
A. B.或 C.或 D.
3.“”是“幂函数在上是减函数”的一个()条件
A.充分不必要 B.必要不充分
C.充要 D.既不充分也不必要
4.直角坐标平面上将函数(,)的图象向左平移1个单位,再向上平移1个单位,则所得新函数的图像恒过定点()
A. B. C. D.
5.若,且,则等于()
A.4 B.3 C.2 D.1
6.函数的零点一定位于区间()
A. B. C. D.
7.已知,且,满足,则()
A. B. C. D.
8.已知中,,,,动点P从点C出发沿线段CB运动,到达点B时停止,动点Q从点B出发沿线段BC运动,到达点C时停止,且动点Q的速度是动点P的2倍.若二者同时出发,且一个点停止运动时,另一个点也停止运动,则该过程中的最大值是()
A. B.4 C. D.23
二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,有选错的得0分,若只有2个正确选项,每选对1个得3分;若只有3个正确选项,每选对1个得2分.
9.下列运算正确的是()
A.(,,且)
B.(,,且)
C.(,且)
D.(,且)
10.已知A,B是直线与函数图象的两个相邻交点,若,则的值可能是()
A.2 B.4 C.8 D.10
11.已知正三角形ABC的边长为6,D,E为边AC上两点,且,F为边AB上一点,且,则下列结论正确的是()
A. B.
C.与的夹角为 D.
三、填空题:本大题共3个小题,每小题5分,共15分.
12.在平面直角坐标系xOy中,角与角均以为始边,它们的终边关于y轴对称.若角的终边经过点,则__________.
13.平面向量,,,且c与a的夹角等于c与b的夹角,则___________.
14.若,,其中,,则的值为__________.
四、解答题:本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知幂函数在上单调递增.
(1)求的解析式;
(2)若在上恒成立,求实数k的取值范围.
16.(15分)设常数,函数,.
(1)当时,求函数的值域;
(2)若函数的最小值为0,求a的值.
17.(15分)抗击疫情众志成城.假期期间一高中同学积极参加社区抗疫宣传活动.抗疫宣传活动共分3批次进行,每次活动需要同时派出2名志愿者,且每次派出人员均从5名志愿者同学中随机抽选,已知这5名志愿者中,有2人有活动经验,其他3人没有活动经验.经验可以累积.
(1)求5名志愿者中“小K”,在这3批次安装活动中有且只有一次被抽选到的概率;
(2)求第二次抽选时,选到没有活动经验志愿者的人数最多可能是几人?请说明理由.
18.(17分)某日,中国海军护航编队太原舰在A处收到某商船在航行中发出的求救信号后,立即测出该商船在方位角(是从某点的指北方向线起,依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角)为、距离A处为的C处,并测得该商船正沿方位角为的方向,以的速度航行,太原舰立即以的速度前去营救.
(1)太原舰最少需要多少小时才能靠近商船?
(2)在营救时间最少的前提下,太原舰航行的方位角约是多少?
(角度精确到,参考数据:,,.)
19.(17分)已知,是函数的两个相邻的零点.
(1)求的值;
(2)若对任意,都有,求实数m的取值范围;
(3)若关于x的方程在上有两个不同的解,求实数m的取值范围.
参考答案
一、单项选择题
1.答案:C
解析:因为,
所以,即,解得(舍)或,
所以,故选C.
2.答案:A
解析:因为,,所以,所以.
原不等式可化为所以,解得.
所以,不等式的解集为.
故选:A.
3.答案:A
解析:由题意,当时,在上是减函数,故充分性成立;
若幂函数在上是减函数,
则,解得或
故必要性不成立
因此“”是“幂函数在上是减函数”的一个充分不必要条件.故选:A
4.答案:A
解析:因为(,),
令,得,,
所以的图像过定点,
将定点向左平移1个单位,再向上平移1个单位,得,
所以的图像恒过定点.
故选:A.
5.答案:D
解析:设,
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