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四点共圆的判定（二）题集【C】
1.如图，半圆的直径，点为半圆的中点，点在弦上，连接，作于点，
交于点，连接，当和相似时，的长为．
【答案】或
【解析】设．
①若，
则，，，四点共圆，且，
此时，
∴，
即，
．
②若，则，
此时，
，即，
∴．
综上，为或．
【标注】【知识点】四点共圆的应用
2.如图，正方形中，交的延长线于，在线段上运动，的平分线交
于．
图
1
（1）如图，求证：．
（2）过作于，试探求，，之间的数量关系并说明理由．
（3）在第（）的条件下，为的延长线上一点，且，于，
，，直接写出的长．
图
【答案】（1）证明见解析．
（2），证明见解析．
（3）．
【解析】（1）在和中，
，
∴≌，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴．
（2）平分，平分，
∴为的内心，
∴
，
∴．
（3）设，
则
，
在中，
，
2
∴，
解得，，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，，在以为直径的圆上，
又∵，
∴，
又∵，
∴．
【标注】【知识点】四点共圆的应用
3.如图，正方形中，点、分解是，上的动点（不与点，，重合），且
，，与对角线分别相交于点，，连接，则下列结论：①
；②
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