离散数学第五章.pptVIP

第五章

代数系统(1/3);二元运算

定义:设S为集合,函数f：S×S→S称为S上的二元运算,简称为二元运算.

判断要点:

(1)S中任何两个元素都可以进行这种运算,且运算的结果是唯一的.

(2)S中任何两个元素的运算结果都属于S,即S对该运算是封闭的.;3.例:

自然数集合N上的加法和乘法是N上的二元运算,但减法和除法不是.

(2)整数集合Z上的加法、减法和乘法都是Z上的二元运算,而除法不是.

(3)非零实数集R*上的乘法和除法都是R*上的二元运算,而加法和减法不是,因为两个非零实数相加或相减可能得0.;(4)设Mn(R)表示所有n阶(n≥2)实矩阵的集合,即



?????????????????????????????????????????????????????????????

那么矩阵加法和乘法都是Mn(R)上的二元运算.;(5)S为任意集合,则∪、∩、－、????为S的幂集P(S)上的二元运算,这里∪和∩是初级并和初级交.

(6)S为集合,SS为S上的所有函数的集合,则函数的集合运算???为SS上的二元运算.;一元运算

定义:设S为集合,函数f：S→S称为S上的一个一元运算,简称为一元运算.

例:

(1)求一个数的相反数是整数集合Z,有理数集合Q和实数集合R上的一元运算.

(2)求一个数的倒数是非零有理数集合Q*,非零实数集合R*上的一元运算.

;(3)求一个复数的共轭复数是复数集合C上的一元运算.;思考:n元运算如何定义?;二元与一元运算的表示

1.算符:;2.表示方法---解析公式和运算表

(1)解析公式就是使用算符和表达式给出参与运算的元素和运算结果之间的映射规那么.

(2)有穷集S上的二元和一元运算也可以使用运算表表示.

;(3)例:

a)设R为实数集合,如下定义R上的二元运算*：任意x,y∈R,x*y=x.计算3*4,

(-5)*0.2,0*1/2.

;b)设S={1,2},给出P(S)上的运算~和的运算表,其中全集为S.

;二元运算的性质

;设和为S上两个不同的二元运算,

(1)如果对于任意的x,y,z∈S有(xy)z=

(xz)(yz)和z(xy)=(zx)(zy),那么称运算对运算满足分配律.

(2)如果和都可交换,并且对于任意的x,y∈S有x(xy)=x和x(xy)=x,那么称和运算满足吸收律.;例:下表给出了某些常见代数运算???性质,其中Z、Q、R分别代表整数集、有理数集、实数集,Mn(R)表示n(n≥2)阶实矩阵的集合,AA是所有从A到A的函数的集合.;2.特异元素：单位元、零元和逆元

设*为S上的二元运算,

(1)如果存在el〔或er〕∈S,使得对任意x∈S都有el*x=x(或x*er=x),那么称el(或er)是S中关于*运算的左(或右)单位元.假设e∈S关于运算既是左单位元又是右单位元,那么称e为S上关于运算的单位元.单位元也叫做幺元.

(2)如果存在θl〔或θr〕∈S,使得对任意x∈S都有θl*x=θl(或x*θr=θr),那么称θl(或θr)是S中关于运算的左(或右)零元.假设S关于*运算既是左零元又是右零元,那么称θ为S上关于运算的零元.;(3)令e为S中关于运算*的单位元.对于x∈S,如果存在yl〔或yr〕∈S使得yl*x=e〔或x*yr=e〕,那么称yl(或yr)是x的左逆元(或右逆元).假设y∈S既是x的左逆元又是x的右逆元,那么称y为x的逆元.如果x的逆元存在,就称x是可逆的.

;例:;性质:

定理5.1设*为S上的二元运算,el和er分别为S中关于运算的左和右单位元,那么el=er=e为S上关于运算的唯一的单位元.

证：el=el*er(er为右单位元)

el*er=er(el为左单位元)

所以el=er,将这个单位元记作e.假设e＇也是S中的单位元,那么有e＇=e*e＇=e.唯一性得证.;定理5.2设*为S上可结合的二元运算,e为该运算的单位元,对于x∈S如果存在左逆元yl和右逆元yr,那么有yl=yr=y，且y是x的唯一的逆元.

证：由yl*x=e和x*yr=e得

yl=yl*e=yl*(x*yr)

=(yl*x)*yr=e*yr=yr

令y