2025高考数学二轮专题复习专题四立体几何微重点3立体几何中的动态问题 .docxVIP

微重点3立体几何中的动态问题

[考情分析]“动态”问题是高考立体几何问题中最具创新意识的题型，它渗透了一些“动态”的点、线、面等元素，给静态的立体几何题赋予了活力，题型更新颖.同时，由于“动态”的存在，也使立体几何题更趋多元化，将立体几何问题与平面几何中的解三角形问题、多边形面积问题以及解析几何问题之间建立桥梁，使得它们之间灵活转化.

考点一动点轨迹问题

例1(多选)(2024·梅州模拟)如图，平面ABN⊥平面α，AB=MN=2，M为线段AB的中点，直线MN与平面α所成角的大小为30°，点P为平面α内的动点，则()

A.以N为球心，半径为2的球面在平面α上的截痕长为2π

B.若P到点M和点N的距离相等，则点P的轨迹是一条直线

C.若P到直线MN的距离为1，则∠APB的最大值为π

D.满足∠MNP=45°的点P的轨迹是椭圆

答案BC

解析对于A，由于MN与平面α所成角的大小为30°，所以点N到平面α的距离d=MN·sin30°=1，故半径为R=2的球面在平面α上截面圆的半径为r=R2-d2=3，故截痕长为2πr=2

对于B，由于平面ABN⊥平面α，所以以AB为y轴，在平面α内过M作x轴⊥AB，在平面ABN内作z轴⊥AB，建立如图所示的空间直角坐标系，

则M(0，0，0)，B(0，1，0)，A(0，-1，0)，N(0，3，1

设P(x，y，0)，则PM=PN?x2+y2=x2+(y-3)2+1，

化简得y=233，故P到点M和点N的距离相等，则点P的轨迹是一条直线

对于C，MN=(0，3，1)，MP=(x，y

所以P到直线MN的距离为

MP2-MP·

化简可得x2+y24

所以点P的轨迹是平面α内的椭圆x2+y24=1，如图，当P在短轴的端点时，∠APB最大，由于BM=MP

故∠BPM=π4，因此∠APB=2∠BPM=π

对于D，NM=0

NP=x

若∠MNP=45°，则cos∠MNP=cos〈NM，NP〉=NM·NP

化简得y-2324-x22=1且y433，故满足∠

[规律方法]解决与几何体有关的动点轨迹问题的方法

(1)几何法：根据平面的性质进行判定.

(2)定义法：转化为平面轨迹问题，用圆锥曲线的定义判定或用代数法进行计算.

(3)特殊值法：根据空间图形线段长度关系取特殊值或位置进行排除.

跟踪演练1(多选)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P在侧面CC1D1D(含边界)内运动，Q在底面ABCD(含边界)内运动，则下列说法正确的是()

A.若直线AC与直线AP所成角的大小为30°，则点P的轨迹为椭圆的一部分

B.若过点Q作体对角线A1C的垂线，垂足为H，满足QA=QH，则点Q的轨迹为双曲线的一部分

C.若点P到直线B1C1的距离与点P到平面ABCD的距离相等，则点P的轨迹为抛物线的一部分

D.若点P满足∠PAD=∠PAC1，则点P的轨迹为线段

答案ACD

解析依题意，以A为坐标原点，AD为x轴，AB为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，

则A(0，0，0)，C(1，1，0)，A1(0，0，1)，C1(1，1，1)，D(1，0，0)，

假设P(1，m，n)，m，n∈[0，1]，

则AC=(1，1，0)，AP=(1，m，n)

所以cos30°=AC·AP

即(m-2)23+n2=1，m，n∈[

所以点P的轨迹为椭圆的一部分，故A正确；

设Q(a，b，0)，a，b∈[0，1]，

QA=a2+b2，A1Q=

A1C=(1，1，-1

A1H为向量A1Q在向量A1C上投影的长度，故

由勾股定理，得QH=A1Q

由QA=QH得，a+b=3-1，a，b∈[0，1]，

所以点Q的轨迹为线段，故B错误；

由条件得，点P到直线B1C1的距离为(1-

设点P到平面ABCD的距离为n，

由(1-m)2+(1-n)2=n，化简得(m-1)2=2n-1，

AD=(1，0，0)，AC1=(1，1，

可得cos∠PAD=AD·AP

cos∠PAC1=A

=1+

由cos∠PAD=cos∠PAC1，

化简得m+n=3-1，所以点P的轨迹为线段，故D正确.

考点二折叠、展开问题

例2(多选)如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠D=60°，沿AC将△DAC翻折至△SAC，连接SB，得到三棱锥S-ABC，E是线段SA的中点，则在翻折过程中，下列结论正确的是()

A.在棱SB上总存在一点F，使得EF∥平面ABC

B.当SB=3时，三棱锥S-ABC的体积为1

C.当平面SAC⊥平面ABC时，SB=6

D.当二面角S-AC-B为120°时，三棱锥S-ABC的外接球的半径为15

答案AC

解析对于A，取SB的中点F，连接EF，

因为E，F分别是SA，SB的中点，所以EF∥AB，

因为AB?平面ABC，EF?平