数学知识巧解学案：平面向量共线的坐标表示.docx

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疱工巧解牛

知识?巧学

一、用坐标表示两个共线向量

向量a与非零向量b共线,当且仅当存在一个实数λ，使得a=λb。这样可由向量相等，构造出向量坐标相等的关系式。

设a=(x1，y1），b=(x2,y2）(x2，y2不同时为零）。

根据实数与向量的积的坐标可得λb=（λx2，λy2）。

因为a=λb，即（x1，y1)=(λx2，λy2），

则必有消去λ后，得x1y2—x2y1=0.

这就是说，当且仅当x1y2-x2y1=0时，向量b与a(a≠0)共线。

若x2、y2都不为零时，则可化为.即若两个向量相对应的坐标成比例，则它们平行，也可依此判断a与b共线.

由此可知，设a=（x1，y1)，b=（x2,y2），若a∥b,则x1y2—x2y1=0；反之，若x1y2—x2y1=0，则a∥b.该条件成立,是在假设b≠0的情况下推出的，事实上，由于我们规定零向量与任何向量平行,所以可去掉b≠0这一限制条件.

学法一得向量共线有两种刻画形式：（1)b∥a(a≠0）b=λa，λ是唯一确定的实数;（2）b∥a（a≠0)x1y2-x2y1=0。

典题?热题

知识点一利用坐标解决向量共线

例1判断下列向量是否平行：

（1)a=(1，3)，b=(2，4）；（2）a=（1,2），b=（，1）.

解:(1)∵1×4-3×2=-2≠0,∴a与b不平行。

（2)∵1×1-2×=0,∴a∥b。

巧解提示：(1）∵≠，a与b不平行;(2）∵,∴a∥b.

本方法适合于作分母的向量坐标不是零的情况.

知识点二利用两个向量共线求未知数

例2已知向量a=（1,1），b=(4，x),μ=a+2b，v=2a+b且μ∥v

思路分析:由于平面向量可用坐标表示,所以有关向量的加、减及实数与向量的积都可先用坐标表示出来，再转化为坐标运算去求值.

解:μ=（1,1)+2（4，x)=（1，1）+（8，2x)=（9,1+2x），

v=2(1,1)+(4，x)=(2，2)+(4，x)=（6，2+x).

∵μ∥v，∴9(2+x）-6（1+2x)=0.

解得x=4。

例3求与向量a=（3，4)共线的单位向量。

解：设与a共线的单位向量为e=（x，y），

则x2+y2=1.①

又e∥a，所以3y-4x=0.②

解由①②组成的方程组

得或

即e=(）或（)。

巧解提示：∵a=（3，4),∴|a|=.

∴与a共线的单位向量e=a，或e=a,

即e=(）或().

方法归纳利用两个向量共线的条件去布列方程，求未知数的值.由x1y2-x2y1=0可解决一个未知数的值；若由可解决两个未知数的值。

例4平面内给定三个向量a=（3，2），b=(-1,2)，c=（4，1).

（1)求3a+b-

(2）求满足a=mb+nc的实数m、n;

（3)若(a+kc）∥（2b—a），求实数k；

（4）设d=（x，y)满足(d-c)∥（a+b）且|d—c｜=1，求d。

思路分析：在引入向量的坐标表示后，向量的加、减、数乘运算完全代数化,这样更简洁，但必须对平面向量基本定理、向量的有关概念有深刻的理解.

解：（1)3a+b—2c=3（3，2)+（—1,2)-2(4,1)=（9，6）+(-1，2）-（8,2)=(

（2)∵a=mb+nc，

∴（3，2）=m（—1，2）+n(4，1）=(—m+4n,2m+n).

∴解之，得

（3）∵(a+kc)∥(2b-a），

又a+kc=（3+4k，2+k），2b—a=（—5，2)，

∴2×（3+4k）-（-5)×(2+k）=0.∴k=。

（4）∵d—c=(x—4，y—1)，a+b=(2，4)，

又（d-c）∥(a+b）且｜d—c|=1，

∴

解之,得或

∴d=()或d=（).

方法归纳求未知数的值，需列含有未知数的方程或方程组，这就是方程思想.由于平面向量的坐标表示，所以有关向量的加、减及实数与向量的积、共线向量、向量的模等，都可用于列方程求未知数的值.

知识点三向量平行与三点共线

例5向量=(k，12），=(4，5），=(10,k），当k为何值时，A、B、C三点共线?

解:=-=（k，12）—(4，5)=（k—4，7），

=—=（k，12)—(10，k）=(k—10,12—k).

∵A、B、C三点共线，

∴∥，即（k-4)(12-k)—(k—10)×7=0.

整理，得k2-9k-22=0。

解得k1=-2或k2=11.

所以当k=-2或11时，A、B、C三点共线。

例6如果向量=i-2j,=i+