2025高考数学二轮专题复习专题六解析几何微重点2圆锥曲线中的二级结论 .docxVIP

微重点2圆锥曲线中的二级结论

[考情分析]圆锥曲线是高考数学的热点之一，善于总结解题技巧，才是提升数学解题速度与准确率的关键.因此掌握一些常用的圆锥曲线二级结论，对于小题的解决、提速有很大的帮助；对于某些大题的证明也可以有一定的启发.

考点一焦点三角形

考向1焦点三角形的面积

例1已知椭圆x216+y29=1上一点M与两焦点F1，F2所成的角∠F1MF2=60°，则△F1MF2

A.1633 B.16

C.33 D.93

跟踪演练1(2024·西安模拟)设F1，F2是椭圆C：x26+y218=1的两个焦点，点P是C上的一点，且cos∠F1PF2=13，则△PF1F

A.3 B.32

C.9 D.92

考向2焦半径之积及离心率的表示

例2(2024·淄博模拟)已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P，Q是它们的两个公共点，且P，Q关于原点对称，∠PF2Q=2π3，若椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，则e12e12

A.2+33 B.

C.233

[规律方法](1)设P点是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)上异于长轴端点的任意一点，F1，F2为其焦点，记∠F1PF2=θ，则①|PF1||PF2|=2

(2)设P点是双曲线x2a2-y2b2=1(a0，b0)上异于实轴端点的任意一点，F1，F2为其焦点，记∠F1PF2=θ，则①|PF1||PF2|=2

跟踪演练2设O为坐标原点，F1，F2为椭圆C：x24+y23=1的两个焦点，点P在C上，cos∠F1PF2=35，则PF

A.94 B.7

C.2 D.7

考点二垂径定理

例3(多选)已知A，B是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)上任意两点，且弦AB不平行于x轴和y轴，弦AB不过坐标原点O，M为线段AB的中点，则有kAB·

A.b2a2 B.

C.-1 D.e2-1

[规律方法]双曲线中的垂径定理：已知A，B是双曲线x2a2-y2b2=1(a0，b0)上任意两点，且弦AB不平行于x轴和y轴，弦AB不过坐标原点O，M为线段AB的中点，则有kAB·kOM

跟踪演练3(多选)(2024·泸州模拟)已知双曲线C：x2a2-y2b2=1a0，b0的左、右焦点分别是F1，F2，其中F1F2=2c，过右焦点F

A.弦AB的最小值为2

B.若|AB|=m，则△F1AB的周长为2m+4a

C.若AB的中点为M，且AB的斜率为k，则kOM·k=b

D.若直线AB的斜率为3，则双曲线的离心率e∈[2，+∞)

考点三椭圆、双曲线的第三定义

定义：平面内与两个定点A1(-a，0)，A2(a，0)的斜率乘积等于常数e2-1的点的轨迹叫做椭圆或双曲线(不含两个顶点).其中两定点分别为椭圆或双曲线的顶点.当常数大于-1小于0时为椭圆，此时e2-1=-b2a2；当常数大于0时为双曲线，此时e2

例4(2024·成都模拟)如图，A，B分别是椭圆C：x2a2+y2b2=1ab0的左、右顶点，点P在以AB为直径的圆O上(点P异于A，B两点)，线段AP与椭圆C交于另一点Q，若直线BP的斜率是直线BQ的斜率的

A.33 B.1

C.32 D.

[规律方法]第三定义推论：平面内与两个关于原点对称的点A(m，n)，B(-m，-n)的斜率乘积等于常数e2-1的点的轨迹叫做椭圆或双曲线(不含A，B两点).当常数大于-1小于0时为椭圆，此时e2-1=-b2a2；当常数大于0时为双曲线，此时e2

跟踪演练4设直线y=kx与双曲线C：x2a2-y2b2=1(a0，b0)相交于A，B两点，P为C上不同于A，B的一点，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，若C的离心率为2，则k1·

A.3 B.1

C.2 D.3

考点四焦点弦

1.已知F1，F2分别为椭圆(双曲线)的左、右焦点，直线l过左焦点F1与曲线(焦点在x轴上)交于A，B两点，设∠AF1F2=α，e为离心率，p为焦点到对应准线的距离，则p=b2

(1)椭圆焦半径公式：|AF1|=ep1-ecosα，|BF1|=ep1+

(2)椭圆焦点弦弦长公式：|AB|=|AF1|+|BF1|=2ep

(3)①若直线与双曲线交于一支(如图1)，则|AF1|=ep1+ecosα，|BF1|=ep1-

②若直线与双曲线交于两支(如图2)，则|AF1|=epecosα+1，|BF

1AF1

图1图2

(4)双曲线焦点弦弦长公式：若直线与双曲线交于一支，则|AB|=|AF1|+|BF1|=2ep

若直线与双曲线交于两支，则|AB|=||AF1|-|BF1||=2ep

2.已知直线l过焦点F与抛物线(焦点在x轴上)交于A，B两点，设∠AFx=α，e为抛物线离心率，p为抛物线的焦点到对应准线的距离.

(1)抛物线焦