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微重点2圆锥曲线中的二级结论
[考情分析]圆锥曲线是高考数学的热点之一,善于总结解题技巧,才是提升数学解题速度与准确率的关键.因此掌握一些常用的圆锥曲线二级结论,对于小题的解决、提速有很大的帮助;对于某些大题的证明也可以有一定的启发.
考点一焦点三角形
考向1焦点三角形的面积
例1已知椭圆x216+y29=1上一点M与两焦点F1,F2所成的角∠F1MF2=60°,则△F1MF2
A.1633 B.16
C.33 D.93
跟踪演练1(2024·西安模拟)设F1,F2是椭圆C:x26+y218=1的两个焦点,点P是C上的一点,且cos∠F1PF2=13,则△PF1F
A.3 B.32
C.9 D.92
考向2焦半径之积及离心率的表示
例2(2024·淄博模拟)已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P,Q是它们的两个公共点,且P,Q关于原点对称,∠PF2Q=2π3,若椭圆的离心率为e1,双曲线的离心率为e2,则e12e12
A.2+33 B.
C.233
[规律方法](1)设P点是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)上异于长轴端点的任意一点,F1,F2为其焦点,记∠F1PF2=θ,则①|PF1||PF2|=2
(2)设P点是双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)上异于实轴端点的任意一点,F1,F2为其焦点,记∠F1PF2=θ,则①|PF1||PF2|=2
跟踪演练2设O为坐标原点,F1,F2为椭圆C:x24+y23=1的两个焦点,点P在C上,cos∠F1PF2=35,则PF
A.94 B.7
C.2 D.7
考点二垂径定理
例3(多选)已知A,B是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)上任意两点,且弦AB不平行于x轴和y轴,弦AB不过坐标原点O,M为线段AB的中点,则有kAB·
A.b2a2 B.
C.-1 D.e2-1
[规律方法]双曲线中的垂径定理:已知A,B是双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)上任意两点,且弦AB不平行于x轴和y轴,弦AB不过坐标原点O,M为线段AB的中点,则有kAB·kOM
跟踪演练3(多选)(2024·泸州模拟)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1a0,b0的左、右焦点分别是F1,F2,其中F1F2=2c,过右焦点F
A.弦AB的最小值为2
B.若|AB|=m,则△F1AB的周长为2m+4a
C.若AB的中点为M,且AB的斜率为k,则kOM·k=b
D.若直线AB的斜率为3,则双曲线的离心率e∈[2,+∞)
考点三椭圆、双曲线的第三定义
定义:平面内与两个定点A1(-a,0),A2(a,0)的斜率乘积等于常数e2-1的点的轨迹叫做椭圆或双曲线(不含两个顶点).其中两定点分别为椭圆或双曲线的顶点.当常数大于-1小于0时为椭圆,此时e2-1=-b2a2;当常数大于0时为双曲线,此时e2
例4(2024·成都模拟)如图,A,B分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1ab0的左、右顶点,点P在以AB为直径的圆O上(点P异于A,B两点),线段AP与椭圆C交于另一点Q,若直线BP的斜率是直线BQ的斜率的
A.33 B.1
C.32 D.
[规律方法]第三定义推论:平面内与两个关于原点对称的点A(m,n),B(-m,-n)的斜率乘积等于常数e2-1的点的轨迹叫做椭圆或双曲线(不含A,B两点).当常数大于-1小于0时为椭圆,此时e2-1=-b2a2;当常数大于0时为双曲线,此时e2
跟踪演练4设直线y=kx与双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)相交于A,B两点,P为C上不同于A,B的一点,直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,若C的离心率为2,则k1·
A.3 B.1
C.2 D.3
考点四焦点弦
1.已知F1,F2分别为椭圆(双曲线)的左、右焦点,直线l过左焦点F1与曲线(焦点在x轴上)交于A,B两点,设∠AF1F2=α,e为离心率,p为焦点到对应准线的距离,则p=b2
(1)椭圆焦半径公式:|AF1|=ep1-ecosα,|BF1|=ep1+
(2)椭圆焦点弦弦长公式:|AB|=|AF1|+|BF1|=2ep
(3)①若直线与双曲线交于一支(如图1),则|AF1|=ep1+ecosα,|BF1|=ep1-
②若直线与双曲线交于两支(如图2),则|AF1|=epecosα+1,|BF
1AF1
图1图2
(4)双曲线焦点弦弦长公式:若直线与双曲线交于一支,则|AB|=|AF1|+|BF1|=2ep
若直线与双曲线交于两支,则|AB|=||AF1|-|BF1||=2ep
2.已知直线l过焦点F与抛物线(焦点在x轴上)交于A,B两点,设∠AFx=α,e为抛物线离心率,p为抛物线的焦点到对应准线的距离.
(1)抛物线焦
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