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2025高考数学二轮专题复习专题三数列微拓展 数列中的新定义问题 .docxVIP

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微拓展数列中的新定义问题

[考情分析]随着高考改革的不断推进,解答题中压轴题越来越新颖,在各地的模拟题中,新定义数列题型出现的越来越多,常以新定义、新运算和新构造形式呈现,有时还伴随着数列与集合,难度较大.

考点一数列中的新定义、新运算问题

例1(2024·武汉模拟)对于数列{an},如果存在等差数列{bn}和等比数列{cn},使得an=bn+cn(n∈N*),则称数列{an}是“优分解”的.

(1)证明:如果{an}是等差数列,则{an}是“优分解”的;

(2)记Δan=an+1-an,Δ2an=Δan+1-Δan(n∈N*),证明:如果数列{an}是“优分解”的,则Δ2an=0(n∈N*)或数列{Δ2an}是等比数列;

(3)设数列{an}的前n项和为Sn,如果{an}和{Sn}都是“优分解”的,并且a1=3,a2=4,a3=6,求{an}的通项公式.

[规律方法]遇到新定义、新运算问题,应耐心读题,分析新定义、新运算的特点,弄清新定义的性质,按新定义、新运算的要求“照章办事”,逐条分析、运算、验证,使问题得以解决,有时还需要用类比的方法去理解新的定义,这样有助于对新定义透彻理解.但是,透过现象看本质,它们考查的还是基础数学知识,所以说“新题”不一定是“难题”,掌握好三基,以不变应万变才是制胜法宝.

跟踪演练1(2024·毕节模拟)在无穷数列{an}中,若对任意的n∈N*,都存在m∈N*,使得an+an+2m=2an+m,则称{an}为m阶等差数列.在正项无穷数列{bn}中,若对任意的n∈N*,都存在m∈N*,使得bnbn+2m=bn+m2,则称{bn}

(1)若数列{bn}为1阶等比数列,b1+b2+b3=72,b3+b4+

(2)若数列{lncn}为m阶等差数列,求证:{cn}为m阶等比数列;

(3)若数列{lncn}既是m阶等差数列,又是m+1阶等差数列,证明:{cn}是等比数列.

考点二数列中的新情境问题

例2(2024·泉州模拟)将足够多的一批规格相同、质地均匀的长方体薄铁块叠放于水平桌面上,每个铁块总比其下层铁块向外伸出一定的长度,如图,那么最上层的铁块最多可向桌沿外伸出多远而不掉下呢?这就是著名的“里拉斜塔”问题.将铁块从上往下依次标记为第1块、第2块、第3块、…、第n块,将前i(i=1,2,3,…,n)块铁块视为整体,若这部分的重心在第(i+1)块的上方,且全部铁块整体的重心在桌面的上方,整批铁块就保持不倒.设这批铁块的长度均为1,若记第n块比第(n+1)块向桌沿外多伸出的部分的最大长度为an,则根据力学原理,可得a2=14,且

(1)求{an}的通项公式;

(2)记数列{an}的前n项和为Sn,

①比较Sn与12ln(n+1)

②对于无穷数列{xn},如果存在常数A,对任意的正数ε,总存在正整数N0,使得?nN0,|xn-A|ε,则称数列{xn}收敛于A,也称数列{xn}的极限为A,记为limn→+∞xn=A;反之,则称{xn}不收敛.请根据数列收敛的定义判断{Sn}是否收敛?并据此回答“里拉斜塔

[规律方法]新情境题型或给出几个新模型来创设新问题的情境,应耐心读题,在阅读理解的基础上,依据题目提供的信息,联系所学的知识和方法,实现信息迁移,达到灵活解题的目的.

跟踪演练2(2024·江西省重点中学盟校联考)随着大数据时代来临,数据传输安全问题引起了人们的高度关注,国际上常用的数据加密算法通常有AES,DES,RSA等,不同算法密钥长度也不同,其中RSA的密钥长度较长,用于传输敏感数据.在密码学领域,欧拉函数是非常重要的,其中最著名的应用就是在RSA加密算法中的应用.设p,q是两个正整数,若p,q的最大公约数是1,则称p,q互素.对于任意正整数n,欧拉函数是不超过n且与n互素的正整数的个数,记为φ(n).

(1)试求φ(1)+φ(9),φ(7)+φ(21)的值;

(2)设p,q是两个不同的素数,试用p,k表示φ(pk)(k∈N*),并探究φ(pq)与φ(p)和φ(q)的关系;

(3)设数列{an}的通项公式为am=5m-32φ(3m)(m∈N*),求该数列的前m项和

1.(2024·黄山统考)北宋数学家沈括博学多才、善于观察.据说有一天,他走进一家酒馆,看见一层层垒起的酒坛,不禁想到:“怎么求这些酒坛的总数呢?”,沈括“用刍童(长方台)法求之,常失于数少”,他认为堆积的酒坛、棋子等虽然看起来像实体,但中间是有空隙的,应该把他们看成离散的量.经过反复尝试,沈括提出对上底有ab个,下底有cd个,共n层的堆积物(如图),可以用公式S=n6[(2b+d)a+(b+2d)c]+n6(c-a)求出物体的总数.这就是所谓的“隙积术”,相当于求数列ab,(a+1)(b+1),(a+2)(b+2),

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