2025高考数学二轮专题复习专题三数列微拓展 数列中的新定义问题 .docxVIP

微拓展数列中的新定义问题

[考情分析]随着高考改革的不断推进，解答题中压轴题越来越新颖，在各地的模拟题中，新定义数列题型出现的越来越多，常以新定义、新运算和新构造形式呈现，有时还伴随着数列与集合，难度较大.

考点一数列中的新定义、新运算问题

例1(2024·武汉模拟)对于数列{an}，如果存在等差数列{bn}和等比数列{cn}，使得an=bn+cn(n∈N*)，则称数列{an}是“优分解”的.

(1)证明：如果{an}是等差数列，则{an}是“优分解”的；

(2)记Δan=an+1-an，Δ2an=Δan+1-Δan(n∈N*)，证明：如果数列{an}是“优分解”的，则Δ2an=0(n∈N*)或数列{Δ2an}是等比数列；

(3)设数列{an}的前n项和为Sn，如果{an}和{Sn}都是“优分解”的，并且a1=3，a2=4，a3=6，求{an}的通项公式.

[规律方法]遇到新定义、新运算问题，应耐心读题，分析新定义、新运算的特点，弄清新定义的性质，按新定义、新运算的要求“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以解决，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.

跟踪演练1(2024·毕节模拟)在无穷数列{an}中，若对任意的n∈N*，都存在m∈N*，使得an+an+2m=2an+m，则称{an}为m阶等差数列.在正项无穷数列{bn}中，若对任意的n∈N*，都存在m∈N*，使得bnbn+2m=bn+m2，则称{bn}

(1)若数列{bn}为1阶等比数列，b1+b2+b3=72，b3+b4+

(2)若数列{lncn}为m阶等差数列，求证：{cn}为m阶等比数列；

(3)若数列{lncn}既是m阶等差数列，又是m+1阶等差数列，证明：{cn}是等比数列.

考点二数列中的新情境问题

例2(2024·泉州模拟)将足够多的一批规格相同、质地均匀的长方体薄铁块叠放于水平桌面上，每个铁块总比其下层铁块向外伸出一定的长度，如图，那么最上层的铁块最多可向桌沿外伸出多远而不掉下呢？这就是著名的“里拉斜塔”问题.将铁块从上往下依次标记为第1块、第2块、第3块、…、第n块，将前i(i=1，2，3，…，n)块铁块视为整体，若这部分的重心在第(i+1)块的上方，且全部铁块整体的重心在桌面的上方，整批铁块就保持不倒.设这批铁块的长度均为1，若记第n块比第(n+1)块向桌沿外多伸出的部分的最大长度为an，则根据力学原理，可得a2=14，且

(1)求{an}的通项公式；

(2)记数列{an}的前n项和为Sn，

①比较Sn与12ln(n+1)

②对于无穷数列{xn}，如果存在常数A，对任意的正数ε，总存在正整数N0，使得?nN0，|xn-A|ε，则称数列{xn}收敛于A，也称数列{xn}的极限为A，记为limn→+∞xn=A；反之，则称{xn}不收敛.请根据数列收敛的定义判断{Sn}是否收敛？并据此回答“里拉斜塔

[规律方法]新情境题型或给出几个新模型来创设新问题的情境，应耐心读题，在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息迁移，达到灵活解题的目的.

跟踪演练2(2024·江西省重点中学盟校联考)随着大数据时代来临，数据传输安全问题引起了人们的高度关注，国际上常用的数据加密算法通常有AES，DES，RSA等，不同算法密钥长度也不同，其中RSA的密钥长度较长，用于传输敏感数据.在密码学领域，欧拉函数是非常重要的，其中最著名的应用就是在RSA加密算法中的应用.设p，q是两个正整数，若p，q的最大公约数是1，则称p，q互素.对于任意正整数n，欧拉函数是不超过n且与n互素的正整数的个数，记为φ(n).

(1)试求φ(1)+φ(9)，φ(7)+φ(21)的值；

(2)设p，q是两个不同的素数，试用p，k表示φ(pk)(k∈N*)，并探究φ(pq)与φ(p)和φ(q)的关系；

(3)设数列{an}的通项公式为am=5m-32φ(3m)(m∈N*)，求该数列的前m项和

1.(2024·黄山统考)北宋数学家沈括博学多才、善于观察.据说有一天，他走进一家酒馆，看见一层层垒起的酒坛，不禁想到：“怎么求这些酒坛的总数呢？”，沈括“用刍童(长方台)法求之，常失于数少”，他认为堆积的酒坛、棋子等虽然看起来像实体，但中间是有空隙的，应该把他们看成离散的量.经过反复尝试，沈括提出对上底有ab个，下底有cd个，共n层的堆积物(如图)，可以用公式S=n6[(2b+d)a+(b+2d)c]+n6(c-a)求出物体的总数.这就是所谓的“隙积术”，相当于求数列ab，(a+1)(b+1)，(a+2)(b+2)，