2025高考数学二轮专题复习专题三数列微重点1数列的递推关系 .docxVIP

微重点1数列的递推关系

[考情分析]数列的递推关系是高考重点考查内容，作为两类特殊数列——等差数列、等比数列，可直接根据它们的通项公式求解，但也有一些数列要通过构造转化为等差数列或等比数列，再利用公式求解，体现出化归思想在数列中的应用.

考点一构造辅助数列

例1(1)(多选)已知数列{an}，下列结论正确的是()

A.若a1=2，an+1=an+n+1，则a20=211

B.若a1=1，an+1=2an+3，则an=2n-1-3

C.若a1=1，an+1=a

D.若a1=2，2(n+1)an-nan+1=0，则an=n·2n

(2)已知数列{an}满足a1=t，an+1-2an=-n+1，若{an}是递减数列，则实数t的取值范围为()

A.(-1，1) B.(-∞，0)

C.(-1，1] D.(1，+∞)

[规律方法](1)形如an+1-an=f(n)的数列，利用累加法求an.

(2)形如an+1an=f(n)

(3)形如an+1=qanpan+q(p

(4)若数列{an}满足an+1=pan+q(p≠0，1；q≠0)，构造an+1+λ=p(an+λ).

(5)若数列{an}满足an+1=pan+f(n)(p≠0，1)，构造an+1+g(n+1)=p[an+g(n)].

跟踪演练1(1)已知数列{an}满足an+1an=n·2nn+1，其中a

A.28 B.220

C.225 D.228

(2)(2024·晋中模拟)若数列{an}满足a1=1，a2=4，且对任意的n≥2(n∈N*)都有an+1-2an+an-1=2，则1a2-1+1

A.34-121

C.34-121

考点二利用an与Sn的关系

例2已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=an

(1)证明：数列{Sn2

(2)设数列{bn}的前n项积为Tn，若Tn=Sn2，求数列{bn}

[规律方法]在处理Sn，an的式子时，一般情况下，如果要证明f(an)为等差(等比)数列，就消去Sn，如果要证明f(Sn)为等差(等比)数列，就消去an.但有些题目要求求{an}的通项公式，表面上看应该消去Sn，但这会导致解题陷入死胡同，这时需要反其道而行之，先消去an，求出Sn，然后利用an=Sn-Sn-1(n≥2)求出an(n≥2).

跟踪演练2(1)(2024·天津模拟)设数列{an}满足a1+2a2+3a3+…+nan=2n+1(n∈N*)，则数列ann+1的前10项和为

A.2011 B.11

C.5122 D.

(2)(2024·佛山模拟)设数列{an}的前n项之积为Tn，满足an+2Tn=1(n∈N*)，则a2024等于()

A.10111012 B.1011

C.40474049 D.

答案精析

例1(1)ACD[A项，an+1-an

=n+1，

∴a20=(a20-a19)+(a19-a18)+…+(a2-a1)+a1=20+19+18+…+2+2=211，故A正确；

B项，方法一∵an+1=2an+3，

∴an+1+3=2(an+3)，

∴数列{an+3}是以a1+3=4为首项，2为公比的等比数列，

∴an+3=4·2n-1=2n+1，

故an=2n+1-3，故B错误；

方法二若an=2n-1-3，

则a1=21-1-3=-2≠1，故B错误；

C项，∵an+1=an1+3an，

则an≠0，

∴1an+1=1+3a

∴1an+1-

∴数列1an是以1a1

∴1an=1+(n-1)×3=3n

∴an=13n-2

D项，∵2(n+1)an-nan+1=0，

∴an+1n

∴数列ann是以a11

∴ann=2·2n-1=2

∴an=n·2n，故D正确.]

(2)B[将an+1-2an=-n+1整理得an+1-(n+1)=2(an-n)，

又a1-1=t-1，

易知当t=1时，a1=1，a2=2，

不满足{an}是递减数列，

故t≠1，

因此数列{an-n}是以t-1为首项，

2为公比的等比数列，

故an-n=(t-1)2n-1，

因此an=n+(t-1)2n-1，

由于{an}是递减数列，故an+1an恒成立，

得n+1+(t-1)2nn+(t-1)2n-1，

化简得(1-t)2n-11，

故1-t12

因此1-t121-1=1，解得t

跟踪演练1(1)C(2)C

例2(1)证明当n=1时，

a1=a12+

得a12=2，即S

当n≥2时，

Sn=Sn-S

所以Sn+S

所以Sn2-Sn-12=2，故数列{Sn2}

(2)解由(1)知，

Sn2=2+(n-1)×2=2

得Tn=2n，

当n≥2时，

bn=TnTn-1=

当n=1时，b1=T1=2，不符合上式，

故bn=2

跟踪演练2(1)C(2