2024年中考数学复习-勾股定理的多种应用考点培优练习.docxVIP

勾股定理的多种应用考点培优练习

考点直击

1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，a2+b2=c2.

2.勾股定理逆定理：如果一个三角形三边a，b，c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.

3.勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数a，b，c称为勾股数.

4.利用勾股定理求边长的三类题型：

(1)直接应用勾股定理求直角三角形的边；

(2)利用勾股定理得方程求边——旗杆折断模型；

(3)“化斜为直”构造直角三角形求边.

例题精讲

例1(常州统考)如图,Rt△ABC中,∠BAC=90°,分别以△ABC的三条边为直角边作三个等腰直角三角形△ABD,△ACE,△BCF,若图中阴影部分的面积S?=6.5,S?=3.5,S?=5.5,则、S?=

举一反三1(凉州统考)如图,△ABC中,AD⊥BC于D,若AB=15,AC=13,BC=14,求AD.

举一反三2阅读下面的材料，然后解答问题：

我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫作奇异三角形.

【理解】

(1)根据奇异三角形的定义，请你判断：等边三角形一定是奇异三角形吗?(填“是”或“不是”).

(2)若某三角形的三边长分别为1，7，2，则该三角形(填“是”或“不是”)奇异三角形.

【探究】

在Rt△ABC中,两边长分别是a,c,且a2=50,c2=100,则这个三角形是否是奇异三角形?请说明理由.

【拓展】在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=c,AC=b,BC=a,且(ba,若Rt△ABC是奇异三角形，求a2:b2:c2.

例2(苏州统考)如图1,在△ABC中,33∠A+∠B=180°,BC=8,AC=10,求AB的长.

小明的思路：如图2，作BE⊥AC于点E，在AC的延长线上取点D，使得DE=AE,连接BD,易得∠A=∠D,△ABD为等腰三角形,由3∠A+∠B=180°和∠A+∠ABC+∠BCA=180°,易得.∠BCA=2∠A,△BCD为等腰三角形，依据已知条件可得AE和AB的长.

解决下列问题：

(1)图2中,AE

(2)在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a、b、c.如图3,当3∠A+2∠B=180°时,用含a,c的式子表示b.

举一反三3如图，已知四边形ABCD中，AB‖CD,BC=AD=4,AB=CD=10,∠DCB=90°,,E为CD边上的一点,DE=7,动点P从点A出发,以1个单位每秒的速度沿着边AB向终点B运动，连接PE，设点P运动的时间为t秒.

(1)求BE的长;

(2)若△BPE为直角三角形，求t的值.

举一反三4(高邮统考)【数学实验室】制作4张全等的直角三角形纸片(如图1)，把这4张纸片拼成以弦长c为边长的正方形构成“弦图”(如图2)，古代数学家利用“弦图”验证了勾股定理.

【探索研究】

(1)小明将“弦图”中的2个三角形进行了旋转，得到图3，请利用图3证明勾股定理.

【数学思考】

(2)小芳认为用其他的方法改变“弦图”中某些三角形的位置，也可以证明勾股定理.请你想一种方法支持她的观点(先在备用图中补全图形，再予以证明).

例3如图,在四边形ABCD中,AD=4cm,CD=3cm,AD⊥CD,AB=13cm,BC=12cm,求四边形的面积.

【思路点拨】连接AC，根据勾股定理求出AC，然后利用勾股定理的逆定理推导出△ABC是直角三角形，然后利用三角形面积公式将两个三角形的面积相加即可.

举一反三5(海门统考)如图，梯子AB斜靠在一竖直的墙上，梯子的底端A到墙根O的距离AO为2米，梯子的顶端B到地面的距离BO为6米，现将梯子的底端A向外移动到.A,使梯子的底端.A到墙根O的距离.AO等于3米，同时梯子的顶端B下降至.

举一反三6(宜兴统考)如图，小明所在学校的旗杆BD高约为13米，距离旗杆20米处刚好有一棵高约为3米的香樟树AE，活动课上，小明有意在旗杆与香樟树之间的连线上来回踱步，发现有一个位置到旗杆顶部与到树顶的距离相等，请你求出该位置与旗杆之间的距离.

过关检测

基础夯实

1.(南通中考)下列长度的三条线段能组成直角三角形的是()

A.3,4,5B.2,3,4

C.4,6,7D.5,11,12

2.(呼伦贝尔中考)下列长度的三条线段能组成锐角三角形的是()

A.6,8,14B.6,8,12

C.6,8,10D.6