2025高考数学二轮专题复习专题五概率与统计微拓展 统计与概率中的递推关系 .docxVIP

微拓展统计与概率中的递推关系

[考情分析]统计与概率内容是数学知识的综合应用，也是中学数学一个重要的交汇点，已经成为联系多项知识内容的媒介；数列是高中数学的重点内容，易与其他内容交汇融合.由于此类考题条件多，背景新颖，成为近年各种考试的一个热点问题，其所考查的数学知识和思想方法相当深刻，难度也较大.

考点一递推数列在计数原理中的应用

例1(1)有A1，A2，…，A6共六个人，他们的座位分别为B1，B2，…，B6，现要求每一个人坐一个座位，且都不坐自己座位，则不同的方法种数为()

A.9 B.16

C.44 D.265

(2)如图，一个环形的大会场被分成了n个区域，现有k种不同颜色的服装提供给n个区域的观众，要求同一区域的观众着装颜色相同，且相邻区域的观众着装颜色不同.当k=5，n=6时，共有种不同的着装方法.?

[规律方法]在计数原理中，当计数的基数较大时，用枚举法会显得非常困难.如果问题带有明显的递推特征，把此类计数问题的基数从有限个且数目很少推广到n个，运用数列知识建立递推关系，经过推广就可以解决这类计数问题.

跟踪演练1有9级台阶，每次只能向上走1级、2级或3级台阶(不能往回走)，则走完9级台阶的方法种数为()

A.24 B.44

C.81 D.149

考点二递推数列在概率、统计中的应用

考向1an=p·an-1+q型

例2(多选)[马尔科夫链]某公司员工食堂每天都有米饭和面食两种套餐，已知员工甲每天中午都会在这两种套餐中选择一种，米饭套餐的价格是每份18元，面食套餐的价格是每份12元，如果甲当天选择了某种套餐，他第二天会有60%的可能性换另一种类型的套餐，假如第1天甲选择了米饭套餐，第n天选择米饭套餐的概率为Pn，下列选项中正确的是()

A.P3=0.52

B.Pn=0.4Pn-1+0.6(1-Pn-1)(n≥2，n∈N)

C.Pn=0.4+0.5×(-0.2)n-1

D.前k天甲午餐总费用的数学期望为15k+52-

考向2an+1=an·f(n)型

例3一个书包中有标号为“1，1，2，2，3，3，…，n，n”的2n张卡片.一个人每次从中拿出一张卡片，并且不放回，如果他拿出一张与已拿出的卡片中有相同标号的卡片，则他将两张卡片都扔掉；如果他手中有3张单张卡片或者书包中卡片全部被拿走，则操作结束.记书包中卡片全部被拿走的概率为Pn，则P3=，P7=.?

考向3an+1=p·an+q·an-1型

例4(多选)[对称随机游走]棋盘上标有第0，1，2，…，100站，棋子开始位于第0站，棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏，若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到跳到第99站或第100站时，游戏结束.设棋子位于第n站的概率为Pn，设P0=1，则下列结论正确的有()

A.P1=12，P2=34，

B.数列{Pn-Pn-1}(1≤n≤99)是公比为-12

C.2P100P99P98

D.P1001

[规律方法]概率之间的关系如果是数列的前后项之间的关系，即递推关系，就可以从概率问题自然地过渡到数列问题，再用数列的方法解决.已知数列的递推关系求通项公式的典型方法：

(1)当出现an=an-1+m时，构造等差数列；

(2)当出现an=xan-1+y时，构造等比数列；

(3)当出现an=an-1+f(n)时，用累加法求解；

(4)当出现anan-1=f(n)

跟踪演练2(1)(多选)随着科技的发展，越来越多的智能产品深入人们的生活.为了测试某品牌扫地机器人的性能，开发人员设计如下实验：如图，在△ABC表示的区域上，扫地机器人沿着三角形的边，从三角形的一个顶点等可能地移动到另外两个顶点之一，机器人从一个顶点移动到下一个顶点称执行一次程序.若开始时，机器人从A点出发，记机器人执行n次程序后，仍回到A点的概率为P(n)，则下列结论正确的是()

A.P(2)=1

B.当n≥2时，有2P(n)=1-P(n-1)

C.P(7)=21

D.P(n)=1

(2)[非对称随机游走]如图是飞行棋部分棋盘，飞机的初始位置为0号格，抛掷一枚质地均匀的骰子，若抛出的点数为1，2，飞机向前移一格；若抛出的点数为3，4，5，6，飞机向前移两格.直到飞机移到第(n-1)(n≥5且n∈N*)格(失败集中营)或第n格(胜利大本营)时，游戏结束.则飞机移到第3格的概率为，游戏胜利的概率为.?

0

1

2

3

4

…

n-1

n

1.A，B，C，D四人传球，每人每次可以把球传给其他任何一个人，从A开始，5次传球后球回到A手中，则不同的传球方法种数为()

A.24 B.60

C.92 D.144

2.一个饼，用刀切5次，最多能将其切成()

A.10块 B