2025高考数学二轮专题复习专题一函数与导数微拓展 导数新定义问题的应用 .docxVIP

微拓展导数新定义问题的应用

[考情分析]随着高考的改革，各地模拟试题越来越新颖，压轴题更是百花齐放，泰勒展开式、帕德近似、拉格朗日中值定理等以高等数学为背景的题目出现的频率越来越高，在解决部分题目时往往使问题简捷巧妙，甚至可以“秒杀”，在突破难点方面起到了降维打击的作用.

考点一泰勒展开式

1.泰勒公式

如果函数f(x)在含有x0的某个开区间(a，b)内具有直到(n+1)阶的导数，则对?x∈(a，b)，

有f(x)=f(x0)+f(x0)1！(x-x0)+f″(

其中f(n)(x0)表示f(x)在x=x0处的n阶导数，等号后的多项式称为函数f(x)在x=x0处的n阶泰勒展开式.

2.麦克劳林公式

f(x)=f(0)+f(0)1！x+f″(0)2！

虽然麦克劳林公式是泰勒公式的特殊形式，仅仅是取x0=0的特殊结果，由于麦克劳林公式使用方便，在高考中经常会涉及.

3.常见函数的麦克劳林展开式(o(xn)是高阶无穷小量)

(1)ex=1+x+x22！+…+x

(2)sinx=x-x33！+x55！-

(3)cosx=1-x22！+x44！

(4)ln(1+x)=x-x22+x33-…+(-1)n-1xnn+

(5)11-x=1+x+x2+…+xn+o(xn

(6)(1+x)α=1+αx+α(α-1)2！x2+…+α(α-1)…(α

4.两个超越不等式(注意解答题需先证明后使用)

(1)对数型超越放缩：x-1x≤lnx≤x-1(x0

(2)指数型超越放缩：x+1≤ex≤11-x(x1

例1(1)已知a=ln1.01，b=1.0130e，c=1

A.abc B.acb

C.cba D.cab

(2)(2022·新高考全国Ⅰ)设a=0.1e0.1，b=19，c=-ln0.9，则(

A.abc B.cba

C.cab D.acb

[规律方法]涉及比较大小的问题，如果其中同时含有指数式、对数式和多项式，可考虑利用泰勒展开式解决问题，特别注意结合赋值法，利用超越不等式或其变形公式解决问题.

跟踪演练1(1)已知a=e0.02，b=1.02，c=ln2.02，则()

A.cab B.abc

C.acb D.bac

(2)(2022·全国甲卷)已知a=3132，b=cos1

A.cba B.bac

C.abc D.acb

考点二帕德近似

帕德近似：帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数m，n，函数f(x)在x=0处的[m，n]阶帕德近似定义为R(x)=a0

且满足f(0)=R(0)，f(0)=R(0)，f″(0)=R″(0)，…，f(m+n)(0)=R(m+n)(0).

其中f″(x)=[f(x)]，f?(x)=[f″(x)]，f(4)(x)=[f?(x)]，f(5)(x)=[f(4)(x)]，…，f(m+n)(x)=[f(m+n-1)(x)].

高中常见的帕德近似公式

ln(1+x)≈3x2+6xx2+6x+6

ex≈x2+6x+12x2-6x+12

sinx≈6x6+x2，x∈(-1

cosx≈12-5x212+x2，x∈(

tanx≈3x

例2(1)已知a=e0.3，b=ln1.52+1，c=

A.abc B.bca

C.cab D.acb

(2)(2024·益阳模拟)若a=2ln1.1，b=0.21，c=tan0.21，则()

A.bca B.acb

C.cab D.abc

[规律方法]对于含指数、对数、正弦、余弦、正切的比较大小，利用帕德近似公式求近似值，非常直接，但是要注意公式的使用条件，公式不能记错.

跟踪演练2(2024·济宁模拟)帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数m，n，函数f(x)在x=0处的[m，n]阶帕德近似定义为R(x)=a0+a1x+…+amxm1+b1x+…+bnxn，且满足f(0)=R(0)，f(0)=R(0)，f″(0)=R″(0)，…，f(m+n)(0)=R(m+n)(0)(注：f″(x)=[f(x)]，f″(x)=[f″(x)]，f(4)(x)=[f″(x)]，f(5)(x)=[f(4)(x)]，…，f(n)(x)为f(n-1)(x

(1)求实数a，b的值；

(2)比较f(x)与R(x)的大小；

(3)证明：?n∈N*，1n+1+1n+2+1

考点三拉格朗日中值定理

1.拉格朗日中值定理：若f(x)满足以下条件：

(1)f(x)在闭区间[a，b]上连续；

(2)f(x)在开区间(a，b)内可导，则f(x)在(a，b)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)=f(

2.几何意义：弦AB的斜率k=f(b)-f(a)b-a=

例3(2024·襄阳模拟)柯西中值定理是数学