平面向量数量积的物理背景及其含义教学设计.docx

?一、教学目标

1.知识与技能目标

-理解平面向量数量积的物理背景，掌握平面向量数量积的定义和运算律。

-能运用数量积公式解决有关长度、角度、垂直等问题。

-培养学生的运算能力和逻辑推理能力。

2.过程与方法目标

-通过物理中功等实例，引导学生探究平面向量数量积的概念，体会从特殊到一般的数学思想方法。

-经历向量数量积运算律的探究过程，培养学生的自主探究能力和合作交流能力。

3.情感态度与价值观目标

-通过本节课的学习，让学生体会数学与物理之间的紧密联系，感受数学的应用价值。

-培养学生勇于探索、敢于创新的精神，激发学生学习数学的兴趣。

二、教学重难点

1.教学重点

-平面向量数量积的定义、运算律及其应用。

2.教学难点

-对平面向量数量积定义中夹角的理解以及运算律的探究与证明。

三、教学方法

讲授法、讨论法、探究法相结合

四、教学过程

（一）导入新课

1.复习回顾

-向量的加法、减法和数乘运算。

-向量共线的充要条件。

2.情境引入

-展示一个物体在力\(F\)的作用下发生位移\(s\)的动画。

-提问：如何计算力\(F\)所做的功？

-引导学生回答：功\(W=|F||s|\cos\theta\)，其中\(\theta\)是力\(F\)与位移\(s\)的夹角。

-引出课题：平面向量数量积的物理背景及其含义。

（二）新课讲授

1.平面向量数量积的定义

-给出定义：已知两个非零向量\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)，它们的夹角为\(\theta\)，我们把数量\(|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta\)叫做\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)的数量积（或内积），记作\(\vec{a}\cdot\vec{b}\)，即\(\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta\)。

-强调：

-两个向量的数量积是一个数量，而不是向量。

-规定：零向量与任一向量的数量积为\(0\)。

-让学生思考：当\(\theta=0\)和\(\theta=\pi\)时，\(\vec{a}\cdot\vec{b}\)的值分别是多少？

-引导学生回答：当\(\theta=0\)时，\(\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\)；当\(\theta=\pi\)时，\(\vec{a}\cdot\vec{b}=-|\vec{a}||\vec{b}|\)。

2.平面向量数量积的几何意义

-展示向量投影的动画，讲解向量投影的概念。

-向量\(\vec{b}\)在\(\vec{a}\)方向上的投影为\(|\vec{b}|\cos\theta\)，向量\(\vec{a}\)在\(\vec{b}\)方向上的投影为\(|\vec{a}|\cos\theta\)。

-得出数量积的几何意义：\(\vec{a}\cdot\vec{b}\)等于\(|\vec{a}|\)与\(\vec{b}\)在\(\vec{a}\)方向上的投影\(|\vec{b}|\cos\theta\)的乘积。

3.平面向量数量积的运算律

-探究运算律一：\(\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}\)（交换律）

-让学生思考如何证明，引导学生利用数量积的定义进行证明。

-证明：\(\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta=|\vec{b}||\vec{a}|\cos\theta=\vec{b}\cdot\vec{a}\)。

-探究运算律二：\((\lambda\vec{a})\cdot\vec{b}=\lambda(\vec{a}\cdot\vec{b})=\vec{a}\cdot(\lambda\vec{b})\)（数乘结合律）

-先让学生自己尝试证明，然后教师进行点评和完善。

-证明：

-当\(\lambda0\)时，\((\lambda\vec{a})\cdot\vec{b}=|\lambda\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta=\lambda|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta