2025年九年级中考数学二次函数压轴题专题练习08矩形存在性问题（含解析）.docxVIP

专题08矩形存在性问题

（2024?济宁二模）

1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，且．

??

(1)试求抛物线的解析式；

(2)直线与y轴交于点D，与抛物线在第一象限交于点P，与直线交于点M，记，试求m的最大值及此时点P的坐标；

(3)在（2）的条件下，m取最大值时，是否存在x轴上的点Q及坐标平面内的点N，使得P，D，Q，N四点组成的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有满足条件的Q点和N点的坐标；若不存在，请说明理由．

2．如图，已知二次函数的顶点为，点、的坐标分别是，，以为对角线作．

(1)点在某个函数的图象上运动，求这个函数的表达式；

(2)若点也在二次函数的图象上，求的值；

(3)是否存在矩形，使顶点、都在二次函数的图象上？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．

（2023?东源县三模）

3．如图，二次函数与x轴交于、两点，且与y轴交于点C．

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(1)求抛物线的解析式．

(2)点P是直线上方抛物线上一动点，过点P作于点M，交x轴于点N，过点P作轴交BC于点Q，求的最大值及此时P点坐标．

(3)将抛物线沿射线平移个单位，平移后得到新抛物线．D是新抛物线对称轴上一动点，在平面内确定一点E，使得以B、C、D、E四点为顶点的四边形是矩形．直接写出点E的坐标．

（2023?罗定市三模）

4．如图1，抛物线过两点，动点M从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿方向运动，设运动的时间为t秒．

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(1)求抛物线的表达式；

(2)如图1，过点M作轴于点D，交抛物线于点E，当时，求四边形的面积；

(3)如图2，动点N同时从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向运动，将绕点M逆时针旋转得到．

①当点N运动到多少秒时，四边形是菱形；

②当四边形是矩形时，将矩形沿x轴方向平移使得点F落在抛物线上时，直接写出此时点F的坐标．

（2023秋?铁东区校级月考）

5．如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于，B两点．

(1)求a，k的值及点B的坐标；

(2)在抛物线上求点P，使△PAB的面积是△AOB面积的一半；（写出详细解题过程）

(3)点M在抛物线上，点N在坐标平面内，是否存在以A，B，M，N为顶点的四边形是矩形，若存在直接写出M的坐标，若不存在说明理由．

（2023?歙县校级模拟）

6．如图，若二次函数的图象与x轴交于点、，与轴交于点，连接．

(1)求该二次函数的解析式；

(2)若点Q是抛物线上一动点，在平面内是否存在点K，使以点B、C、Q、K为顶点，BC为边的四边形是矩形？若存在请求出点K的坐标；若不存在，请说明理由．

（2024?淮阴区校级模拟）

7．如图1，二次函数与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．点B坐标为，点C坐标为0,3，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作轴，垂足为D，交直线于点E，设点P的横坐标为m．

(1)求该二次函数的表达式；

(2)如图2，过点P作，垂足为F，当m为何值时，最大？最大值是多少？

(3)如图3，连接，当四边形是矩形时，在抛物线的对称轴上存在点Q，使原点O关于直线的对称点恰好落在该矩形对角线所在的直线上，请直接写出满足条件的点Q的坐标．

（2024?张店区二模）

8．如图1，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，连接，．

(1)求该抛物线及直线的函数表达式；

(2)如图2，在上方的抛物线上有一动点P（不与B，C重合），过点P作，交于点D，过点P作轴，交于点E．在点P运动的过程中，请求出周长的最大值及此时点P的坐标；

(3)如图3，若点P是该抛物线上一动点，问在点P运动的过程中，坐标平面内是否存在点Q使以B，C，P，Q为顶点为对角线的四边形是矩形，若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

（2024?娄底二模）

9．如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，点是抛物线上一个动点．

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(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)当点的坐标为时，求四边形的面积；

(3)当动点在直线上方时，在平面直角坐标系内是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

（2024?榆次区三模）

10．综合与探究

如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，作直线是直线下方抛物线上一动点．

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(1)求两点的坐标，并直接写出直线的函数表达式．

(2)过点作轴，交直线于点，交直线于点．当为线段的中点时，求此时点的坐标．

(3)在（2）的条件下，若是直线上一动点，试判断在平面内是否存在点，使以为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案：

1．(1)

(2)当时，m取得最大值，此时点P的坐标为

(3)存在，或

【分析】（1）先求出点，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；

（2