人教版新课程标准高中数学必修一2.2 基本不等式 (4)教学课件幻灯片PPT.pptxVIP

§2.2基本不等式

（第1课时）

学习目标

1.了解基本不等式的2.会用基本不等式解决

证明过程.简单的最大(小)值问题.

复习回顾

问题1如图是不等式第一节课我们抽象出来的在北京召开第24届

国际数学家大会的会标，你还记得我们得出什么样的结论吗？

重要不等式:

新知探究

问题2现在我们讨论一种特别的情况，如果a0，b0，我们用

分别替换上式中的a，b，能得到什么样结论？

探究:

基本不等式

（当且仅当a=b时，等号成立）

几何平均数均值不等式

算术平均数

代数意义：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数

知识梳理

1.基本不等式：如果a0，b0，则___________，当且仅当a＝b时，等

号成立.

2.其中，______叫做正数a，b的算术平均数，____叫做正数a，b的几何

平均数.

3.两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

问题3上述不等式是在重要不等式基础上转化出来的，是否对所有的

a0，b0都能成立？请给出证明.

方法一(作差法)

方法二(性质法)

AB是圆的直径,O为圆心，点C是AB上一点,

AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接

AD、BD、OD：

你能利用这个图得出基本不等式的几何解释吗?

①如何用a,b表示OD?OD=______几何意义：

1.在圆中：

②如何用a,b表示CD?CD=______半径不小于半弦

③OD与CD的大小关系怎样?OD_____CD2.在直角三角形中：

斜边上的中线

不小于斜边上的高

新知归纳

«重要不等式：

当且仅当a=b时，等号成立.

«基本不等式：

当且仅当a=b时，等号成立.

注意：（1）不同点：两个不等式的适用范围不同。

（2）相同点：当且仅当a=b时，等号成立。

（3）联系：由重要不等式可以推出基本不等式。

利用基本不等式求最值例1、

倒数

①正数正关系

数

②不等式常呈现为和积关系

或倒数关系

③注意能否取到等号

解：因为x0,所以

利用基本不等式证明不等式

证明：

①正数

②不等式常呈现为和积关系

或倒数关系

③注意能否取到等号

例2已知x,y都是正数，求证：

(1)如果积xy等于定值P,那么当x=y时，和x+y有最小值

(2)如果和x+y等于定值S,那么当x=y时，积xy有最大值

解：∵x，y都是正数

(1)当xy等于定值P时(2)当x+y等于定值S时

积定和最小，

和定积最大

当且仅当x=y,等号成立.当且仅当x=y,等号成立.

即：当x=y时，和x+y有最小值即：x=y时，积xy有最大值

问题4你能写出基本不等式的几种变形吗？

由此我们发现若两个正数的和为定值时，我们可以求这两个数乘积的最

大值，若两个数的乘积为定值时，我们可以求这两个数和的最小值.

课堂练习

因为x0，

当且仅当x＝，即x＝2时等号成立，因此所求的最小值为4.

延伸探究

1.当x0时，求x＋的最大值.

因为x0，则－x0，

故原式的最大值为－4.

因为x1，故有x－10，

当且仅当x－1＝，即x＝3时等号成立