2025高考数学二轮专题复习专题三数列微拓展 数列中的新定义问题 .pptxVIP

;;考点一;数列中的新定义、新运算问题;(2024·武汉模拟)对于数列{an}，如果存在等差数列{bn}和等比数列{cn}，使得an=bn+cn(n∈N*)，则称数列{an}是“优分解”的.

(1)证明：如果{an}是等差数列，则{an}是“优分解”的；;(2)记Δan=an+1-an，Δ2an=Δan+1-Δan(n∈N*)，证明：如果数列{an}是“优分解”的，则Δ2an=0(n∈N*)或数列{Δ2an}是等比数列；;(3)设数列{an}的前n项和为Sn，如果{an}和{Sn}都是“优分解”的，并且a1=3，a2=4，a3=6，求{an}的通项公式.;一方面，∵数列{Sn}是“优分解”的，设Sn=Bn+Cn(n∈N*)，

其中Bn=B1+(n-1)D，Cn=C1Qn-1(C1≠0，Q≠0)，

由(2)知Δ2Sn=C1Qn-1(Q-1)2.

∵ΔS1=S2-S1=a2=4，ΔS2=S3-S2=a3=6，

∴Δ2S1=ΔS2-ΔS1=2.

∴C1(Q-1)2=2，∴Q≠1，

∴{Δ2Sn}是首项为2，公比为Q(Q≠1)的等比数列.

另一方面，∵{an}是“优分解”的，设an=bn+cn(n∈N*)，

其中bn=b1+(n-1)d，cn=c1qn-1(c1≠0，q≠0)，;?;;?;?;(2)若数列{lncn}为m阶等差数列，求证：{cn}为m阶等比数列；;(3)若数列{lncn}既是m阶等差数列，又是m+1阶等差数列，证明：{cn}是等比数列.;;考点二;?;?;?;?;?;?;?;; (2024·江西省重点中学盟校联考)随着大数据时代来临，数据传输安全问题引起了人们的高度关注，国际上常用的数据加密算法通常有AES，DES，RSA等，不同算法密钥长度也不同，其中RSA的密钥长度较长，用于传输敏感数据.在密码学领域，欧拉函数是非常重要的，其中最著名的应用就是在RSA加密算法中的应用.设p，q是两个正整数，若p，q的最大公约数是1，则称p，q互素.对于任意正整数n，欧拉函数是不超过n且与n互素的正整数的个数，记为φ(n).

(1)试求φ(1)+φ(9)，φ(7)+φ(21)的值；;易得φ(1)=1，

不超过9且与9互素的正整数有1，2，4，5，7，8，则φ(9)=6，

不超过7且与7互素的正整数有1，2，3，4，5，6，则φ(7)=6，

不超过21且与21互素的正整数有1，2，4，5，8，10，11，13，16，17，19，20，则φ(21)=12，

所以φ(1)+φ(9)=7，φ(7)+φ(21)=18.;(2)设p，q是两个不同的素数，试用p，k表示φ(pk)(k∈N*)，并探究φ(pq)与φ(p)和φ(q)的关系；;?;1.(2024·黄山统考)北宋数学家沈括博学多才、善于观察.据说有一天，他走进一家酒馆，看见一层层垒起的酒坛，不禁想到：“怎么求这些酒坛的总数呢？”，沈括“用刍??(长方台)法求之，常失于数少”，他认为堆积的酒坛、棋子等虽然看起来像实体，但中间是有空隙的，应该把他们看成离散的量.经过反复尝试，沈括提出对上底有ab个，下底有cd个，共n层的堆积物(如图)，;?;?;?;?;?;2.设满足以下两个条件的有穷数列a1，a2，…，an为n(n=2，3，4，…)阶“曼德拉数列”：

①a1+a2+a3+…+an=0；②|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=1.

(1)若某2k(k∈N*)阶“曼德拉数列”{an}是等比数列，求该数列的通项公式(1≤n≤2k，用k，n表示)；;?;(2)若某2k+1(k∈N*)阶“曼德拉数列”{an}是等差数列，求该数列的通项公式(1≤n≤2k+1，用k，n表示)；;?;?;?;?;?