数学高考备考讲义第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ22.docx

§2.2函数的单调性与最值

必威体育精装版考纲

考情考向分析

1.理解函数的单调性，会判断函数的单调性.

2.理解函数的最大(小)值的含义，会求简单函数的最大(小)值.

以基本初等函数为载体，考查函数的单调性、单调区间及函数最值的确定与应用；强化对函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的考查，题型既有选择、填空题，又有解答题.

1.函数的单调性

(1)单调函数的定义

增函数

减函数

定义

一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2

定义

当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数

当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数

图象描述

自左向右看图象是上升的

自左向右看图象是下降的

(2)单调区间的定义

如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间.

2.函数的最值

前提

设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足

条件

(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；

(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M

(3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；

(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M

结论

M为最大值

M为最小值

知识拓展

函数单调性的常用结论

(1)对任意x1，x2∈D(x1≠x2)，eq\f(f?x1?－f?x2?,x1－x2)0?f(x)在D上是增函数，eq\f(f?x1?－f?x2?,x1－x2)0?f(x)在D上是减函数.

(2)对勾函数y＝x＋eq\f(a,x)(a0)的增区间为(－∞，－eq\r(a)]和[eq\r(a)，＋∞)，减区间为[－eq\r(a)，0)和(0，eq\r(a)].

(3)在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数.

(4)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”.

题组一思考辨析

1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)若定义在R上的函数f(x)，有f(－1)f(3)，则函数f(x)在R上为增函数.(×)

(2)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞).(×)

(3)函数y＝eq\f(1,x)的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).(×)

(4)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到.(√)

题组二教材改编

2.[P39B组T1]函数f(x)＝x2－2x的单调递增区间是________.

答案[1，＋∞)(或(1，＋∞))

3.[P31例4]函数y＝eq\f(2,x－1)在[2,3]上的最大值是________.

答案2

4.[P44A组T9]若函数f(x)＝x2－2mx＋1在[2，＋∞)上是增函数，则实数m的取值范围是________.

答案(－∞，2]

解析由题意知，[2，＋∞)?[m，＋∞)，∴m≤2.

题组三易错自纠

5.函数y＝的单调递减区间为________.

答案(2，＋∞)

6.若函数f(x)＝|2x＋a|的单调增区间是[3，＋∞)，则a的值为________.

答案－6

解析由图象(图略)易知函数f(x)＝|2x＋a|的单调增区间是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，＋∞))，令－eq\f(a,2)＝3，得a＝－6.

7.(2015·浙江)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋\f(2,x)－3，x≥1，,lg?x2＋1?，x＜1，))则f(f(－3))＝________，f(x)的最小值是________.

答案02eq\r(2)－3

解析f(f(－3))＝f(1)＝0，当x≥1时，f(x)＝x＋eq\f(2,x)－3≥2eq\r(2)－3，当且仅当x＝eq\r(2)时，取等号；当x＜1时，f(x)＝lg(x2＋1)≥lg1＝0，当且仅当x＝0时，取等号，∴f(x)的最小值为2eq\r(2)－3.

题型一确定函数的单调性(区间)

命题点1给出具体解析式的函数的单调性

典例(1)(2017·全国Ⅱ)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是()

A.(－∞，－2) B.(－∞，1)

C.(1，＋∞) D.(4，＋∞)

答案D

解析由x2－2x－8＞0，得x＞4或x＜－2.

设t＝x2－2x－8，则y＝lnt为增函数.

要求函数f(x)的单调递增区间，即求函数t＝x2－2x－8的单调递增区间.

∵函数t＝x2－2x－8的单调递增区