小学五年级下册 数学《奥数》知识点讲解第7课 从不定方程的整数解 试题附答案.pdfVIP

小学五年级下册数学奥数知识点讲解第7课《从不定方程的整数解》试题附答案

第七讲从不定方程1/n=1/x+1/y的整数解谈起

对于如工=1+1的方程，寻找整数H、雅之满足方程，称为求不定方

nxy

求不定方程的整数解.这里n是取定的一个自然数.对于方程

111，八

工=_+—，（1）

oxy

显见X二y=12是一个整数解.还有没有别的解。如何求解？有人凭直觉能看

出一些解来，但数学要求我们有一个成熟的方法去处理同一类问题。

由1=1+,，两边减去1,得：

oxyx

11_1

6xy

通分：因此丫=与，这里x-6大于。.为了使右端的分数

oxyx-6

式更简明，我们不妨把x-6看成一个整体，即令tr-6,那么x=t+6.因此

y=了t）=—+6,由于混整数，上式右边也是整数，所以—也

UI*L

必须是整数，这样我们推知：t是62的因数（约数）。

由于是求不定方程!=的整数解，这样，原先“漫无边际”的我两

oxy

个未知数x、y的困难问题，转换成找简单的62的因子t的问题了.

一个完全平方数的因子必然是奇数个，如有因子6、1和36,2和18,3和

12,4和9.6称为自补的因子.后面的2和18等都称为互补因子，这样，不妨记

为：

yy

t=6,t,=1,t「二36t-=2,t-=18t,=3,t,=12t=4,

VXX・

r2r2

tj=9也即==tiJ…，-=ty,

4

11t.

2

6,

y

x=6+t,y=—+6=t+6,

=1+1的所有解表示成；=+

oxy66+t6+t

这里t和t’是6三36的互补因子（当t=”=6时自补因子也包括在内），

所以

的全部整数解为:

oxy

n111f11)

t=4=6,1=运+逆UTTEJ