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小学五年级下册数学奥数知识点讲解第7课《从不定方程的整数解》试题附答案
第七讲从不定方程1/n=1/x+1/y的整数解谈起
对于如工=1+1的方程，寻找整数H、雅之满足方程，称为求不定方
nxy
求不定方程的整数解.这里n是取定的一个自然数.对于方程
111，八
工=_+—，（1）
oxy
显见X二y=12是一个整数解.还有没有别的解。如何求解？有人凭直觉能看
出一些解来，但数学要求我们有一个成熟的方法去处理同一类问题。
由1=1+,，两边减去1,得：
oxyx
11_1
6xy
通分：因此丫=与，这里x-6大于。.为了使右端的分数
oxyx-6
式更简明，我们不妨把x-6看成一个整体，即令tr-6,那么x=t+6.因此
y=了t）=—+6,由于混整数，上式右边也是整数，所以—也
UI*L
必须是整数，这样我们推知：t是62的因数（约数）。
由于是求不定方程!=的整数解，这样，原先“漫无边际”的我两
oxy
个未知数x、y的困难问题，转换成找简单的62的因子t的问题了.
一个完全平方数的因子必然是奇数个，如有因子6、1和36,2和18,3和
12,4和9.6称为自补的因子.后面的2和18等都称为互补因子，这样，不妨记
为：
yy
t=6,t,=1,t「二36t-=2,t-=18t,=3,t,=12t=4,
VXX・
r2r2
tj=9也即==tiJ…，-=ty,
4
11t.
2
6,
y
x=6+t,y=—+6=t+6,
=1+1的所有解表示成；=+
oxy66+t6+t
这里t和t’是6三36的互补因子（当t=”=6时自补因子也包括在内），
所以
的全部整数解为:
oxy
n111f11)
t=4=6,1=运+逆UTTEJ
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