2025高考数学二轮专题复习专题二 三角函数与解三角形微拓展3平面向量中的新定义 .docxVIP

微拓展3平面向量中的新定义

[考情分析]平面向量作为数学工具，是代数与几何的纽带，是数学知识网络中的一个交汇点，成为联系多项内容的媒介.平面向量的新定义把向量与其他知识联系起来，通过规则、运算等，更好的展示了向量“数”与“形”的双重身份，是高考改革创新的热点.

考点一平面向量的外积

定义向量a与b的外积是一个向量，记为a×b，它的长度|a×b|=|a||b|sin〈a，b〉，它的方向垂直于a，b，且{a，

外积是一个向量，所以又叫向量积，也叫叉积，a×b读作“a叉b”.

特别地，当a=0或b=0时，a×b=0.

例1(多选)[平面向量的外积]在空间中，定义向量的外积：a×b叫做向量a与b的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：

①a⊥(a×b)，b⊥(a×b)，且{a，b，a

②a×b的模|a×b|=|a||b|sin〈a，b〉(〈a，b〉表示向量a，b的夹角).

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，有以下四个结论，正确的是()

A.|AB1×AC|=|AD

B.A1C1×A

C.AB×AD=AD×AB

D.VABCD-A1B1C1

答案ABD

解析由题意，设正方体的棱长为a，

选项A，由几何知识得，△AB1C，△BC1D是全等的等边三角形，且边长为2a，

∴∠B1AC=∠DBC1=60°，

AB1=AC=AD1=DB=BC1=2a，

|AB1×AC|=|AB1||AC|sin∠B1AC=2a×2a×sin60°=

|AD1×DB|=|BC1×DB|=|BC1

=|BC1||DB|sin(180°-∠DBC

=2a×2a×sin(180°-60°)=3a2，

∴|AB1×AC|=|AD1×DB

选项B，在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，

又因为BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1?平面A1B1C1D1，

所以A1C1⊥BB1，

又B1B∩B1D1=B1，B1B，B1D1?平面BB1D1D，

所以A1C1⊥平面BB1D1D，

因为BD1?平面BB1D1D，

所以BD1⊥A1C1，同理可证BD1⊥A1D，

再由右手系知，A1C1×A1

选项C，|AB×AD|=|AB||AD|sin∠BAD=a·asin90°=a2，

|AD×AB|=|AD||AB|sin∠BAD=a·asin90°=a2，∴|AB×AD|=|AD×AB|，

∵右手系叉乘具有方向，

∴AB×AD=-aA

AD×AB=aA

∴AB×AD≠AD×AB，C

选项D，VABCD-A1B1C1D1=a3，(AB×AD)·CC

[规律方法](1)外积的几何意义

S?ABCD=|a|·(|b|sinθ)=|a×b|.

结论：|a×b|表示的是a与b构成的平行四边形的面积.

(2)外积的性质

①a×a=0；

②a×b=0?a∥b；

③a×b=-(b×a)(交换律不成立)；

④(a+b)×c=a×c+b×c(分配律)；

⑤(λa)×b=a×(λb)=λ(a×b).

跟踪演练1(多选)(2024·昭通统考)已知向量a，b的数量积(又称向量的点积或内积)：a·b=|a|·|b|cos〈a，b〉，其中〈a，b〉表示向量a，b的夹角；定义向量a，b的向量积(又称向量的叉积或外积)：|a×b|=|a|·|b|sin〈a，b〉，其中〈a，b〉表示向量a，b的夹角，则下列说法正确的是()

A.若a，b为非零向量，且|a×b|=|a·b|，则〈a，b〉=π

B.若四边形ABCD为平行四边形，则它的面积等于|AB×AD|

C.已知点A(2，0)，B(-1，3)，O为坐标原点，则|OA×OB|=2

D.若|a×b|=33a·b=3，则|a+2b|的最小值为

答案BCD

解析对于A，因为a，b是非零向量，

由|a×b|=|a·b|，

可得|a||b|sin〈a，b〉=|a||b||cos〈a，b〉|，

即sin〈a，b〉=|cos〈a，b〉|，

可得tan〈a，b〉=±1，且〈a，b〉∈[0，π]，

解得〈a，b〉=π4或3π4，

对于B，由平行四边形ABCD的面积S=2×12|AB‖AD|sin〈AB，AD〉=|AB×AD|

对于C，因为OA=(2，0)，OB=(-1，3

可知OA·OB=-2，|OA|=|OB|=2，

则cos〈OA，OB〉=OA

且〈OA，OB〉∈[0，π]，可得〈OA，

所以|OA×OB|=|OA||OB|sin〈OA，OB〉=23，

对于D，因为|a×b|=33a·b=

即|a||b|sin〈a，b〉=33|a||b|cos〈a，b〉=

可得tan〈a，b〉=33，且〈a，b〉∈[0，π

可得〈a，b〉=π6，|a||b

则|a+2b|2=|a|2+4a·b+4|b|2=12+|a|2+4|b|2≥12+4|a||b|=12