河南省平顶山市第一中学2024−2025学年高三下学期开学摸底考试 数学试题及答案.docx

河南省平顶山市第一中学2024?2025学年高三下学期开学摸底考试数学试题

一、单选题（本大题共8小题）

1．已知集合，集合，则（????）

A． B． C． D．

2．复数在复平面内对应点所在的象限为（????）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．已知向量与的夹角为，若在方向上的投影向量为，则（????）

A．3 B． C． D．

4．已知，则的值是（???）

A． B． C． D．

5．函数的大致图象为（????）

A． B．

C． D．

6．已知椭圆的左，右焦点分别为，点在该椭圆上，若满足为直角三角形的点共有8个，则该椭圆离心率的取值范围是（????）

A． B． C． D．

7．我国古代的数学著作《九章算术》中提到了“仓”“堑堵”“阳马”等几何体，其中“仓”是长方体，“堑堵”是两底面为直角三角形的棱柱，“阳马”是底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体．在“阳马”中，平面，分别为、、、的中点，、、、分别为、、、的中点，和交于，平面、平面、平面将阳马分割成一个“仓”，2个“堑堵”和2个小“阳马”，那么分割后2个小“阳马”的体积和与“阳马”体积的比值为（???）

A． B． C． D．

8．设函数，则函数零点的个数为（????）

A．8 B．9 C．10 D．11

二、多选题（本大题共3小题）

9．已知函数的部分图象如图所示，则（????）

A．函数的最小值是

B．是函数的一个周期

C．在上单调

D．将函数的图象向右平移个单位得到的函数是奇函数

10．由直线上一点向圆引两条切线，，，是切点，则（???）

A．线段长的最小值为

B．四边形面积的最小值为

C．的最大值是

D．当点的坐标为时，切点弦所在的直线方程为

11．双纽线的图形轮廓像阿拉伯数字中的“8”.如图，曲线是双纽线，关于曲线，下列说法正确的是（????）

A．

B．上存在点，使得

C．上的点的纵坐标的最大值为

D．若直线与恰有一个公共点，则的取值范围为

三、填空题（本大题共3小题）

12．在中，，点是上的点，平分面积是面积的3倍，当的面积最大时，.

13．已知定义域为的函数的导函数为，若函数和均为偶函数，且，则．

14．古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点的距离之比为常数的点的轨迹是一个圆心在直线上的圆，该圆被称为阿氏圆.如图，在长方体中，，点在棱上，，动点满足，若点在平面内运动，则点对应的轨迹的面积是；为的中点，则三棱锥体积的最小值为.

四、解答题（本大题共5小题）

15．统计显示，我国在线直播生活购物用户规模近几年保持高速增长态势，下表为2019-2023年我国在线直播生活购物用户规模（单位：亿人），其中2019-2023年对应的代码依次为1-5．

年份代码

1

2

3

4

5

市场规模

3.98

4.56

5.04

5.86

6.36

参考数据：，其中．

参考公式：对于一组数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为．

(1)由上表数据可知，若用函数模型拟合与的关系，请估计2027年我国在线直播生活购物用户的规模（结果精确到0.01）；

(2)已知我国在线直播生活购物用户选择在品牌官方直播间购物的概率为，现从我国在线直播购物用户中随机抽取5人，记这5人中选择在品牌官方直播间购物的人数为，若，求的数学期望和方差．

16．如图，平面与不等，，四棱锥的体积为为的中点.

(1)证明：平面；

(2)求平面与平面所成角的正弦值.

17．已知数列中，，.

(1)证明数列是等比数列，并求的通项公式；

(2)数列满足，设为数列的前n项和，求使恒成立的最小的整数k.

18．已知函数．

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)若对任意成立，求实数的值；

(3)若，求证：．

19．已知双曲线，点在上，为常数，．按照如下方式依次构造点：过作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为.

(1)若，求；

(2)证明：数列是公比为的等比数列；

(3)设为的面积，证明：对任意正整数，.

参考答案

1．【答案】A

【详解】因为，，

所以.

故选A.

2．【答案】D

【详解】由题意可得,，

故复数在复平面内对应点为，

因为是第四象限的点，

故选D

3．【答案】A

【详解】由向量与的夹角为，得，

由在方向上的投影向量为，得，则，

整理得，所以.

故选A

4．【答案】A

【详解】.

故选A.

5．【答案】D

【详解】由题意，函数的定义域为，关于原点对称，

且所以函数是奇函数，其图象关于原点中心对称，排除C；

又由当时，排除A，B;

故选D．

6．【答案】A

【详解】如图：

因为使为直角三角形的点有8个，所以在中，必有，即，

所以，即，可