余弦定理（3个知识点5类热点题型讲练习题巩固）.docx

11．1余弦定理

课程标准

学习目标

（1）学生能用向量等知识证明余弦定理．

（2）能初步运用余弦定理及其推论解三角形，能解决三角形的计算问题．

（3）提高运用所学知识解决实际问题的能力，会从数学角度对某些日常生活中和其他学科中出现的问题进行研究探索．

（1）掌握余弦定理的表示形式及推论、证明方法．

（2）会运用余弦定理解决基本的解三角形问题．

（3）能用余弦定理解决简单的实际问题．

知识点01余弦定理

三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即：

余弦定理的变形公式：

【即学即练1】在中，，，，则最长边（????）

A． B． C．或 D．

【答案】B

【解析】在中，，，，

由余弦定理得，，

化简得，解得或，

因为是最长的边，所以，

故选：B

知识点02利用余弦定理解三角形

利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题：

①已知三角形的两条边及夹角，求第三条边及其他两个角；

②已知三角形的三条边，求其三个角．

知识点诠释：在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一．

【即学即练2】根据下列条件解三角形（边长精确到0.01，角度精确到0.1°，）：

(1)已知，，，求a；

(2)已知，，，求．

【解析】（1）由余弦定理，得，

所以．

（2）由余弦定理，得，

所以．

知识点03解三角形

我们把三角形的三个角和三条边叫作三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫作解三角形．

【即学即练3】（1）在△ABC中，已知a=2，b=2，c=，求A，B，C；

（2）在△ABC中，已知a=8，B=60°，c=4(+1)，解此三角形.

【解析】（1）由余弦定理的推论，得：

，又，

=60°.

，又，

B=45°.

∴；

（2）由余弦定理，得

又，

A=45°，

∴．

题型一：已知两边及一角解三角形

【典例11】在中，，则（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】∵，

∴由余弦定理，

则得，

∴解得：，或（舍去），

∴由正弦定理可得：．

故选：B.

【典例12】的内角，，的对边分别为，，，的面积为，且，，则边（???）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由，解得，

由余弦定理得，所以.

故选：C.

【方法技巧与总结】

已知三角形的两边及一角解三角形的方法

已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角．若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边．

【变式11】的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若，，，则（???）

A． B． C．4 D．3

【答案】D

【解析】因为在中，，，，

所以由余弦定理可得：，

所以.

故选：D.

【变式12】在中，已知，，三边分别对应，，三角，，，，则（????）

A．3 B． C． D．

【答案】B

【解析】由余弦定理可得，

，

故选:B.

【变式13】在中，，则（????）

A． B． C． D．3

【答案】A

【解析】由，

所以.

故选：A

题型二：已知三边解三角形

【典例21】在中，角所对三条边为，已知，则角（???）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】，

所以，且，

所以.

故选：B.

【典例22】如图，已知在圆的内接四边形中，，则（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

连接，由题意四边形为圆的内接四边形可知,

则在三角形中由余弦定理得：，

在三角形中由余弦定理得：，

因为，所以，即，解得.

故选：C

【方法技巧与总结】

已知三角形的三边解三角形的方法

利用余弦定理求出三个角的余弦值，进而求出三个角．

【变式21】在中，已知，，，则（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】在中，已知，，，由余弦定理，得.

故选：A．

【变式22】已知，则的面积是（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由余弦定理得，

因为，所以，

可得.

故选：D.

【变式23】已知，则的面积是（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由余弦定理得，

因为，所以，

可得.

故选：D.

题型三：利用余弦定理判断三角形的形状

【典例31】在中，角的对边分别为，若，则的形状是（）

A．等腰三角形 B．等边三角形

C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形

【答案】B

【解析】因为，

所以，且，

所以由余弦定理得，整理得，又，

所以，故是等边三角形.

故选：B.

【典例32】在中，已知，则的形状为（????）

A．直角三角形 B．等腰三角形

C．等腰或直角三角形 D．等边三角形

【答案】C

【解析】在中，由及余弦定理