湖南省永州市第一中学2025届高三下学期3月月考 数学试卷及答案.docx

2025届湖南省永州市第一中学高三下学期3月月考数学试卷（3月7日）

一、单选题（本大题共8小题）

1．已知集合，，则（????）．

A． B．

C． D．或

2．已知复数和，满足，则（???）

A． B．3 C． D．1

3．如图，在四面体ABCD中，，，，则四面体ABCD外接球的表面积为（????）

A． B． C． D．

4．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周.则“课程‘乐’不排在第一周，课程‘御’不排在最后一周”的概率为（????）

A． B． C． D．

5．已知函数，则（????）

A．的图象关于直线对称 B．为的一个周期

C．的值域为 D．在上单调递增

6．函数，若，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（???）

A． B．

C． D．

7．定义在R上的偶函数满足，且在区间上单调递减，已知是锐角三角形的两个内角，则的大小关系是（????）

A． B．

C． D．以上情况均有可能

8．已知抛物线为轴负半轴上的动点，为抛物线的切线，分别为切点，则的最小值为

A． B． C． D．

二、多选题（本大题共3小题）

9．甲、乙两个口袋中装有除了编号不同外其余完全相同的号签.其中甲袋中有编号为1，2，3的三个号签；乙袋中有编号为1，2，3，4，5，6的六个号签.现从甲、乙两袋中各抽取1个号签，从甲、乙两袋抽取号签的过程互不影响.记事件A：从甲袋中抽取号签1；事件B：从乙袋中抽取号签5；事件C：抽取的两个号签和为4；事件D：抽取的两个号签编号不同，则下列说法正确的是（???）

A． B．

C．事件C与D互斥 D．事件A与事件D相互独立

10．（多选题）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中出现了类似如图所示的图形，后人称为“三角垛”（如图所示的是一个4层的“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……设第n层有个球，从上往下n层球的总数为，则下列所有说法中正确的有（???）

A． B．

C． D．

11．在长方形ABCD中，，，点E，F分别为边BC和CD上两个动点（含端点），且，设，，则（????）

A．， B．为定值

C．的最小值50 D．的最大值为

三、填空题（本大题共3小题）

12．若二项式展开式中含有常数项，则的最小取值是

13．已知直线l：与椭圆：（）交于A、B两点，与圆：交于C、D两点．若存在，使得，则椭圆的离心率的取值范围是．

14．关于不等式恰有一个整数解，则实数的取值范围是．

四、解答题（本大题共5小题）

15．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

(1)求角A的大小；

(2)若D是BC上一点，且，求面积的最大值．

16．如图1，在长方形ABCD中，已知，，E为CD中点，F为线段EC上（端点E，C除外）的动点，过点D作AF的垂线分别交AF，AB于O，K两点．现将折起，使得（如图2）．

(1)证明：平面平面；

(2)求直线DF与平面所成角的最大值．

17．新疆是我国杏产量最大的地区，杏的种植面积近200万亩.杏子品种丰富，如库车小白杏、托克逊杏、木亚格杏等.新疆的杏子以其优良的品质和独特的风味而闻名，尤其是托克逊县，被誉为“中国早熟杏之乡”.已知该地区某种植园成熟的托克逊杏（按个计算）的质量（单位：克）服从正态分布，且，.从该种植园成熟的托克逊杏中摘取了10个，它们的质量（单位：克）分别为101，102，100，103，99，98，100，99，97，101，且这10个托克逊杏的平均质量恰等于克.

(1)求的值；

(2)求；

(3)甲和乙都从该种植园成熟的托克逊杏中随机摘取1个，若摘取的托克逊杏的质量不大于100克，则不赠送库车小白杏；若摘取的托克逊杏的质量大于100克且不大于102克，则赠送1个库车小白杏；若摘取的托克逊杏的质量大于102克，则赠送2个库车小白杏.记甲和乙获赠库车小白杏的总个数为，求的分布列与数学期望.

18．如图，已知点和点在双曲线上，双曲线的左顶点为，过点且不与轴重合的直线与双曲线交于，两点，直线，与圆分别交于，两点.

??

(1)求双曲线的标准方程；

(2)设直线，的斜率分别为，，求的值；

(3)证明：直线过定点.

19．已知函数.

（Ⅰ）若在上单调递减，求的取值范围；

（Ⅱ）当时，函数有两个极值点，

证明：．

参考答案

1．【答案】C

【解析】分别计算、，然后求并集

【详解】解：=，

故选C

2．【答案】C

【详解】因为复数和，满足，

则，

所以，所以.

故选C.

3．【答案】A

【详解】如图1，取BD的中点E，由，，可得，

又，所以为等边三角形．

由，，可得，，

，平面ACE

则平面ACE，