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2025届湖南省永州市第一中学高三下学期3月月考数学试卷(3月7日)
一、单选题(本大题共8小题)
1.已知集合,,则(????).
A. B.
C. D.或
2.已知复数和,满足,则(???)
A. B.3 C. D.1
3.如图,在四面体ABCD中,,,,则四面体ABCD外接球的表面积为(????)
A. B. C. D.
4.为弘扬我国古代的“六艺文化”,某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程,每周一门,连续开设六周.则“课程‘乐’不排在第一周,课程‘御’不排在最后一周”的概率为(????)
A. B. C. D.
5.已知函数,则(????)
A.的图象关于直线对称 B.为的一个周期
C.的值域为 D.在上单调递增
6.函数,若,不等式恒成立,则实数m的取值范围是(???)
A. B.
C. D.
7.定义在R上的偶函数满足,且在区间上单调递减,已知是锐角三角形的两个内角,则的大小关系是(????)
A. B.
C. D.以上情况均有可能
8.已知抛物线为轴负半轴上的动点,为抛物线的切线,分别为切点,则的最小值为
A. B. C. D.
二、多选题(本大题共3小题)
9.甲、乙两个口袋中装有除了编号不同外其余完全相同的号签.其中甲袋中有编号为1,2,3的三个号签;乙袋中有编号为1,2,3,4,5,6的六个号签.现从甲、乙两袋中各抽取1个号签,从甲、乙两袋抽取号签的过程互不影响.记事件A:从甲袋中抽取号签1;事件B:从乙袋中抽取号签5;事件C:抽取的两个号签和为4;事件D:抽取的两个号签编号不同,则下列说法正确的是(???)
A. B.
C.事件C与D互斥 D.事件A与事件D相互独立
10.(多选题)南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中出现了类似如图所示的图形,后人称为“三角垛”(如图所示的是一个4层的“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球,第二层有3个球,第三层有6个球……设第n层有个球,从上往下n层球的总数为,则下列所有说法中正确的有(???)
A. B.
C. D.
11.在长方形ABCD中,,,点E,F分别为边BC和CD上两个动点(含端点),且,设,,则(????)
A., B.为定值
C.的最小值50 D.的最大值为
三、填空题(本大题共3小题)
12.若二项式展开式中含有常数项,则的最小取值是
13.已知直线l:与椭圆:()交于A、B两点,与圆:交于C、D两点.若存在,使得,则椭圆的离心率的取值范围是.
14.关于不等式恰有一个整数解,则实数的取值范围是.
四、解答题(本大题共5小题)
15.在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.
(1)求角A的大小;
(2)若D是BC上一点,且,求面积的最大值.
16.如图1,在长方形ABCD中,已知,,E为CD中点,F为线段EC上(端点E,C除外)的动点,过点D作AF的垂线分别交AF,AB于O,K两点.现将折起,使得(如图2).
(1)证明:平面平面;
(2)求直线DF与平面所成角的最大值.
17.新疆是我国杏产量最大的地区,杏的种植面积近200万亩.杏子品种丰富,如库车小白杏、托克逊杏、木亚格杏等.新疆的杏子以其优良的品质和独特的风味而闻名,尤其是托克逊县,被誉为“中国早熟杏之乡”.已知该地区某种植园成熟的托克逊杏(按个计算)的质量(单位:克)服从正态分布,且,.从该种植园成熟的托克逊杏中摘取了10个,它们的质量(单位:克)分别为101,102,100,103,99,98,100,99,97,101,且这10个托克逊杏的平均质量恰等于克.
(1)求的值;
(2)求;
(3)甲和乙都从该种植园成熟的托克逊杏中随机摘取1个,若摘取的托克逊杏的质量不大于100克,则不赠送库车小白杏;若摘取的托克逊杏的质量大于100克且不大于102克,则赠送1个库车小白杏;若摘取的托克逊杏的质量大于102克,则赠送2个库车小白杏.记甲和乙获赠库车小白杏的总个数为,求的分布列与数学期望.
18.如图,已知点和点在双曲线上,双曲线的左顶点为,过点且不与轴重合的直线与双曲线交于,两点,直线,与圆分别交于,两点.
??
(1)求双曲线的标准方程;
(2)设直线,的斜率分别为,,求的值;
(3)证明:直线过定点.
19.已知函数.
(Ⅰ)若在上单调递减,求的取值范围;
(Ⅱ)当时,函数有两个极值点,
证明:.
参考答案
1.【答案】C
【解析】分别计算、,然后求并集
【详解】解:=,
故选C
2.【答案】C
【详解】因为复数和,满足,
则,
所以,所以.
故选C.
3.【答案】A
【详解】如图1,取BD的中点E,由,,可得,
又,所以为等边三角形.
由,,可得,,
,平面ACE
则平面ACE,
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