上海市上海理工大学附属中学2024−2025学年高三下学期3月月考 数学试卷及答案.docx

上海市上海理工大学附属中学2024?2025学年高三下学期3月月考数学试卷

一、填空题（本大题共12小题）

1．设集合，，则．

2．已知等差数列的公差为1，为其前n项和，若，则＝．

3．已知为锐角,若，则.

4．已知正实数a、b满足，则的最小值等于．

5．在二项展开式中，常数项是.

6．已知正三棱锥的侧面与底面所成二面角为，且，则侧棱和底面所成角的正切值为.

7．已知复数满足，则的最大值为

8．点为圆上的一个动点，点，则在方向上的数量投影的最大值为.

9．某校组织为偏远乡村小学送书籍的志愿活动，运送的卡车共装有10个纸箱，其中6箱数学书，4箱语文书.到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱.现从剩下9箱中任意打开2桶，则刚好都是数学书的概率为.

10．已知点是双曲线左支上一点，是双曲线的左右焦点，且双曲线的一条渐近线恰是线段的中垂线，则该双曲线的离心率是.

11．已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为.

12．已知数列满足，其首项，若数列是单调递增数列，则实数的取值范围是.

二、单选题（本大题共4小题）

13．设为直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（????）

A．若，，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，则

14．投掷一枚均匀的骰子，事件:点数大于2;事件:点数小于4;事件:点数为偶数.则下列关于事件描述正确的是（?????）

A．与是互斥事件 B．与是对立事件

C．与是独立事件 D．与是独立事件

15．设，若函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（?????）

??

A． B．

C． D．

16．直线(，不全为)与圆有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线有（?????）

A．60条 B．66条 C．72条 D．78条

三、解答题（本大题共5小题）

17．在中，分别是角的对边.若.

(1)求的值；

(2)求边长的值.

18．如图，在多面体中，底面是边长为的等边三角形，三条侧棱都垂直于底面，且三条侧棱长.

(1)求二面角的大小；

(2)求多面体的体积.

19．某公司为招聘新员工设计了一个面试方案:应聘者从道备选题中一次性随机抽取道题，按照题目要求独立完成.规定：至少正确完成其中道题便可通过面试.已知道备选题中应聘者甲有道题能正确完成，道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且两位应聘者每题正确完成与否互不影响.

(1)求甲正确完成面试题数的分布列及其期望；

(2)求乙正确完成面试题数的分布列及其方差；

(3)试问:甲和乙谁通过面试的可能性更大?并说明理由.

20．已知抛物线的焦点为，若△的三个顶点都在抛物线上，且，则称该三角形为“核心三角形”.

（1）是否存在“核心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为和？请说明理由；

（2）设“核心三角形”的一边所在直线的斜率为4，求直线的方程；

（3）已知△是“核心三角形”，证明：点的横坐标小于2.

21．定义：集合存在实数，满足对任意的，都有恒成立；集合在上是严格递增函数）.

(1)若函数，求实数的取值范围；

(2)已知函数，假设，且，试判断的符号，并证明：；

(3)若对任意函数，满足恒成立，求实数的取值范围

参考答案

1．【答案】

【详解】由，得或，又，

所以.

2．【答案】2

【详解】依题意.

3．【答案】

【详解】因为为锐角，所以，又，

所以，

所以

，

，

所以.

4．【答案】4

【详解】，当，即，时等号成立，

则的最小值为4．

5．【答案】60

【详解】展开式的通项公式是，

当时，

.

6．【答案】

【详解】如图，设的中心为，连接、并延长交于点，连接，

因为为正三棱锥，所以平面，为的中点，，

又，所以，又，所以为侧面与底面所成二面角的平面角，

即，又平面，所以为侧棱与底面所成的角，

所以，即侧棱和底面所成角的正切值为.

7．【答案】7

【详解】如图：

因为复数满足，所以复数对应的点在以原点为圆心，2为半径的圆上.

又表示点到点的距离.

结合图形可知，当，，三点共线，且，在点两侧时，最大，

此时.

所以.

8．【答案】

【详解】因为点为圆上的一个动点，

所以设点，则,

又，

所以，，

所以在方向上的数量投影为，

又，所以在方向上的数量投影的取值范围为，

即在方向上的数量投影的最大值为.

9．【答案】

【详解】设事件表示丢失一箱后任取两箱都是数学书，事件表示丢失的一箱为分别表示数学书、语文书．

由全概率公式得.

10．【答案】

【详解】

由题：双曲线的一条渐近线恰是线段的中垂线，O是的中点，

所以渐近线与平行，所以，

，

所以