2025高考数学二轮专题复习专题四立体几何微专题2空间向量与空间角 .docxVIP

微专题2空间向量与空间角

[考情分析]以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点.空间向量是将空间几何问题坐标化的工具，利用空间向量求平面与平面的夹角或线面角是高考热点，通常以解答题的形式出现，难度中等.

考点一异面直线所成的角

设异面直线l，m的方向向量分别为a=(a1，b1，c1)，b=(a2，b2，c2)，异面直线l与m的夹角为θ.

则(1)θ∈0，

(2)cosθ=|cos〈a，b〉|=|

=|a

例1(1)在正四面体ABCD中，点E，F，G分别为棱BC，CD，AC的中点，则异面直线AE，FG所成角的余弦值为()

A.12 B.3

C.33 D.

答案C

解析连接DE，因为点F，G分别为棱CD，AC的中点，所以FG∥AD，

所以∠EAD(或其补角)为异面直线AE，FG所成的角，

设正四面体的棱长为a，

则AE=DE=32a，AD=a

由余弦定理得cos∠EAD=AE2+A

所以异面直线AE，FG所成角的余弦值为33

(2)(2024·成都模拟)如图，等边三角形ABC的边长为3，DE⊥AB分别交AB，AC于D，E两点，且AD=1，将△ADE沿DE折起(点A与P重合)，使得平面PDE⊥平面BCED，则折叠后的异面直线PB，CE所成角的正弦值为()

A.32 B.6

C.55 D.

答案D

解析由题意可知DB，DE，DP两两垂直，以D为原点，分别以DB，DE，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，

由已知DE=3，点C到直线BD的距离为

则P(0，0，1)，B(2，0，0)，C12，332，0

从而PB=(2，0，-1)，CE=-

故cos〈PB，CE〉=PB·CE

因此〈PB，CE〉是钝角，sin〈PB，CE〉=255，

[规律方法]用向量法求异面直线所成的角的一般步骤

(1)建立空间直角坐标系.

(2)用坐标表示两异面直线的方向向量.

(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值.

(4)注意两异面直线所成角的范围是0，π

跟踪演练1如图，已知圆柱O1O2的底面半径和母线长均为1，B，A分别为上、下底面圆周上的点，若异面直线O1B，O2A所成的角为π3，则AB的长为

答案2或2

解析如图，过点A作AD垂直于上底面于点D，则AD是母线，连接DB，O1D，O1O2，

∵O1O2垂直于上、下底面，

∴AD∥O1O2，AD=O1O2，

则四边形ADO1O2是平行四边形，O1D∥O2A，

∴O2A与O1B所成的角就是∠DO1B或其补角.

当∠DO1B=π3时，△DO1B是等边三角形，BD=1

在Rt△ABD中，AB=BD2+A

当∠DO1B=2π3时

在△O1DB中，BD=2×32=

在Rt△ABD中，AB=BD2

综上，AB=2或2.

考点二直线与平面所成的角

设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，

则(1)θ∈0，

(2)sinθ=|cos〈a，n〉|=|a

例2(2024·威海模拟)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD为等边三角形，PD⊥AB，AD∥BC，AD=4，AB=BC=2，M为PA的中点.

(1)证明：DM⊥平面PAB；

(2)求直线PB与平面MCD所成角的正弦值.

(1)证明设AD中点为O，连接PO，因为△PAD为等边三角形，故PO⊥AD，

由题意知平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO?平面PAD，

故PO⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，

故PO⊥AB，又PD⊥AB，PO∩PD=P，PO，PD?平面PAD，

故AB⊥平面PAD，DM?平面PAD，故AB⊥DM，

又M为PA的中点，△PAD为等边三角形，则DM⊥PA，

因为AB∩PA=A，AB，PA?平面PAB，

所以DM⊥平面PAB.

(2)解由(1)知AB⊥平面PAD，AD?平面PAD，故AB⊥AD，

连接CO，AO=12AD=2，则AO∥BC，AO=BC

即四边形ABCO为平行四边形，故OC∥AB，

所以OC⊥AD，

故以O为坐标原点，OC，OD，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，

则P(0，0，23)，B(2，-2，0)，M(0，-1，3)，C(2，0，0)，D(0，2，0)

PB=(2，-2，-23)，MC=(2，1，-3)，MD=(0，

设平面MCD的法向量为n=(x，y，z)，

则n

即2

令y=1，则n=(1，1，3)

设直线PB与平面MCD所成的角为θ，θ∈0

则sinθ=cos〈PB，n〉=|

[易错提醒](1)线面角θ与直线的方向向量a和平面的法向量n所成的角〈a，n〉的关系是〈a，n〉+θ=π2或〈a，n〉-θ=π2，所以应用向量法求的是线面角的正弦值