2025高考数学二轮专题复习专题一函数与导数微拓展 导数新定义问题的应用 .docxVIP

微拓展导数新定义问题的应用

[考情分析]随着高考的改革，各地模拟试题越来越新颖，压轴题更是百花齐放，泰勒展开式、帕德近似、拉格朗日中值定理等以高等数学为背景的题目出现的频率越来越高，在解决部分题目时往往使问题简捷巧妙，甚至可以“秒杀”，在突破难点方面起到了降维打击的作用.

考点一泰勒展开式

1.泰勒公式

如果函数f(x)在含有x0的某个开区间(a，b)内具有直到(n+1)阶的导数，则对?x∈(a，b)，

有f(x)=f(x0)+f(x0)1！(x-x0)+f″(x0)2！(x-x0)2+…+f

其中f(n)(x0)表示f(x)在x=x0处的n阶导数，等号后的多项式称为函数f(x)在x=x0处的n阶泰勒展开式.

2.麦克劳林公式

f(x)=f(0)+f(0)1！x+f″(0)2！x2+…+f(

虽然麦克劳林公式是泰勒公式的特殊形式，仅仅是取x0=0的特殊结果，由于麦克劳林公式使用方便，在高考中经常会涉及.

3.常见函数的麦克劳林展开式(o(xn)是高阶无穷小量)

(1)ex=1+x+x22！+…+xnn！+

(2)sinx=x-x33！+x55！-…+(-1)n-1x2n-1

(3)cosx=1-x22！+x44！-x66！+…+(-1)n

(4)ln(1+x)=x-x22+x33-…+(-1)n-1xnn+o(xn)，

(5)11-x=1+x+x2+…+xn+o(xn

(6)(1+x)α=1+αx+α(α-1)2！x2+…+α(α-1)…(α-n+1)

4.两个超越不等式(注意解答题需先证明后使用)

(1)对数型超越放缩：x-1x≤lnx≤x-1(x

(2)指数型超越放缩：x+1≤ex≤11-x(

例1(1)已知a=ln1.01，b=1.0130e，c=1101，

A.abc B.acb

C.cba D.cab

答案D

解析由x-1x≤lnx≤x

ln1.011.01-11.01=1101=

∴ac，

ln1.011.01-1=0.01=1

又b=1.0130e1.0130×3=1.0190

∴ba，故bac.

(2)(2022·新高考全国Ⅰ)设a=0.1e0.1，b=19，c=-ln0.9，则(

A.abc B.cba

C.cab D.acb

答案C

解析b=19≈0.111

由公式ex=1+x+x22！

可得e0.1≈1+0.1+0.12

则a=0.1e0.1≈0.1105，

c=-ln0.9=ln109=ln

由公式ln(1+x)=x-x22+x3

得c=ln1+19≈19-19

所以cab.

[规律方法]涉及比较大小的问题，如果其中同时含有指数式、对数式和多项式，可考虑利用泰勒展开式解决问题，特别注意结合赋值法，利用超越不等式或其变形公式解决问题.

跟踪演练1(1)已知a=e0.02，b=1.02，c=ln2.02，则()

A.cab B.abc

C.acb D.bac

答案B

解析设x=0.02，则a=e0.02=1+0.02+0.0222

显然ab1c.

(2)(2022·全国甲卷)已知a=3132，b=cos14，c=4sin1

A.cba B.bac

C.abc D.acb

答案A

解析根据题意，构造函数f(x)=1-x

g(x)=cosx，h(x)=sin

则a=f14，b=g14，c

由于14较小，所以对g(x)，h(x)在x=0

g(x)=1-x22！+x44！+

h(x)=1-x23！+x45！+

显然，在x=14时，a=f14b=g14c=h14，故a

考点二帕德近似

帕德近似：帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数m，n，函数f(x)在x=0处的[m，n]阶帕德近似定义为R(x)=a

且满足f(0)=R(0)，f(0)=R(0)，f″(0)=R″(0)，…，f(m+n)(0)=R(m+n)(0).

其中f″(x)=[f(x)]，f″(x)=[f″(x)]，f(4)(x)=[f″(x)]，f(5)(x)=[f(4)(x)]，…，f(m+n)(x)=[f(m+n-1)(x)].

高中常见的帕德近似公式

ln(1+x)≈3x2+6xx2

ex≈x2+6x+12x2

sinx≈6x6+x2，x

cosx≈12-5x212+x2，

tanx≈3x3-x2

例2(1)已知a=e0.3，b=ln1.52+1，c=1.5，则(

A.abc B.bca

C.cab D.acb

答案B

解析利用帕德近似可得，

a=e0.3≈0.32+6×0.3+120.32

b=ln1.52+1≈12×3×0.52+6×0.50.52

由公式(1+x)α=1+αx+α(α-1)2！

得c=1.5=1+0.5≈1+12×0