高等数学下册（第2版）课件：微分方程.ppt

第一步：根据f(x)的形式,第二步：代入原方程以确定函数表达式中的待定系数.—待定系数法如果是所相应的齐次方程②的通解则由上述定理得非齐次方程①通解的结构。定理：是非齐次方程①的一个特解，而是所相应的齐次方程②的通解，则成为非齐次方程①的通解。设求特解的方法的函数形式；确定二、?为实数,设特解为其中为待定多项式,代入原方程,得(1)若?不是特征方程的根,则取从而得到特解形式为为已知的m次多项式.Q(x)为m次待定系数多项式(2)若?是特征方程的单根,为m次多项式,故特解形式为(3)若?是特征方程的重根,是m次多项式,故特解形式为即即小结对方程?不是特征根可设特解其中为已知的m次多项式。?是特征单根?是特征重根其中为待定的m次多项式。例1.的一个特解.解:本题特征方程为不是特征方程的根.设所求特解为代入方程:比较系数,得所求特解为写全一个二次多项式例2.的通解.解:本题特征方程为特征根对应齐次方程的通解为设非齐次方程特解为比较系数,得因此特解为代入方程得所求通解为三、对非齐次方程可设特解其中不是特征根是特征单根例3.的一个特解.解:本题特征方程故设特解为不是特征方程的根,代入方程得比较系数,得于是求得一个特解例4.的通解.解:特征方程为其根为对应齐次方程的通解为比较系数,得因此特解为代入方程:所求通解为为特征方程的单根,因此设非齐次方程特解为（其中为实数).例5.求微分方程的通解解:特征方程特征根:对应齐次方程通解:时,代入原方程得故原方程通解为时,代入原方程得故原方程通解为内容小结?为特征方程的k(＝0,1,2)重根,则设特解为为特征方程的k(＝0,1)重根,则设特解为作业P3651(3,4,7);2(4)微分方程的应用第五节氧气充足时，酵母增长规律为下，酵母的发酵过程中会产生酒精，酒精将抑制酵母的继续发酵，在酵母增长的同时，酒精量也相应增加，酒精的抑制作用也相应增加，致使酵母的增长率逐渐下降，直到酵母量稳定地接近于一个极限值为止。上述过程的数学模型如下其中，求解此微分方程，并假定当为酵母量最后极限值，是一个常数。它表示在前期酵母的增长率逐渐上升，到后期酵母增长率逐渐下降。时，酵母的现有量为而在缺氧条件例1.如何求解两边积分可分离变量方程的形式及解法：如果可以写成则目的：dx与dy拆开，且保证dx前面是一个dy前面是一个仅与y仅与x有关的函数，有关的函数实现两个变量的分离一、可分离变量的微分方程例1.求微分方程的通解.解:分离变量得两边积分得即(C为任意常数)说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、减解.(此式含分离变量时丢失的解y=0)例2.解初值问题解:分离变量得两边积分得即由初始条件得C=1,(C为任意常数)故所求特解为例3.求下述微分方程的通解:解:令则故有即解得(C为任意常数)所求通解:例4:解：分离变量即(C0)(C为任意常数)二、齐次方程形如的方程叫做齐次方程.令代入原方程得两边积分,得积分后再用代替u,便得原方程的通解.解法:分离变量:例1.解微分方程解:代入原方程得分离变量两边积分得故原方