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习题课一、重积分计算的基本方法二、重积分计算的基本技巧三、重积分的应用重积分的计算及应用
一、重积分计算的基本方法1.选择合适的坐标系使积分域多为坐标线围成;被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.2.选择易计算的积分序积分域分块要少,累次积分易算为妙.图示法(二重积分积分限的特点)3.掌握确定积分限的方法——累次积分法
例1.计算二重积分其中D为圆周所围成的闭区域.提示:利用极坐标原式
例2.计算积分其中D由所围成.提示:如图所示
二、重积分计算的基本技巧分块积分法利用对称性1.交换积分顺序的方法2.利用对称性或重心公式简化计算3.消去被积函数绝对值符号
证明:提示:左端积分区域如图,交换积分顺序即可证得.例3.
例4.在均匀的半径为R的圆形薄片的直径上,要接上一个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片,使整个问接上去的均匀矩形薄片的另一边长度应为多少?解:建立坐标系如图.由对称性知由此解得即有薄片的重心恰好落在圆心上,
例5.计算其中:(1)D为圆域(2)D由直线解:(1)利用对称性.围成.
(2)积分域如图:将D分为添加辅助线利用对称性,得
例6.计算二重积分其中D是由曲所围成的平面域.解:其形心坐标为:面积为:积分区域线形心坐标
例7.如图所示交换下列二次积分的顺序:解:
三、重积分的应用1.几何方面面积(平面域或曲面域),体积,形心质量,转动惯量,质心2.物理方面
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