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广东省广州大学附属中学2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知，则“为纯虚数”是“”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

2．已知是定义在上的奇函数，若为偶函数且，则（????）

A．3 B． C． D．0

3．若，则（???）

A． B． C． D．

4．已知向量，则向量在上的投影向量为（????）

A． B． C． D．

5．设数列的前项之积为，满足，则（???）

A． B． C． D．

6．若、都有恒成立，则（????）

A． B．

C． D．

7．在四面体中，，且与所成的角为.若该四面体的体积为，则它的外接球半径的最小值为（????）

A． B．2 C．3 D．

8．已知双曲线的两焦点分别为、，过右焦点作直线交右支于、点，且，若，则双曲线的离心率为（????）

A． B． C． D．

二、多选题

9．设一组样本数据满足，则（????）

A．拿走，这组数据的方差变大 B．拿走，这组数据的方差变大

C．拿走，这组数据的方差减小 D．拿走，这组数据的方差减小

10．若函数的图象上至少存在两个不同的点P，Q，使得曲线在这两点处的切线垂直，则称函数为“垂切函数”．下列函数中为“垂切函数”的是（???）

A． B． C． D．

11．已知、是椭圆的左、右两个顶点，为右焦点，、是椭圆上异于、的任意两点，为坐标原点，则（???）

A．直线、的斜率之积为

B．若直线过点，则直线、的斜率之积为

C．若直线过点，则直线、的斜率之积为

D．若三角形的面积为，则直线、的斜率之积为

三、填空题

12．某中学举行数学解题比赛，其中7人的比赛成绩分别为：70，97，85，90，98，73，95，则这7人成绩的上四分位数与极差之和是．

13．在中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，已知，，则的内切圆半径r的最大值为.

14．古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点的距离之比为常数的点的轨迹是一个圆心在直线上的圆，该圆被称为阿氏圆.如图，在长方体中，，点在棱上，，动点满足，若点在平面内运动，则点对应的轨迹的面积是；为的中点，则三棱锥体积的最小值为.

四、解答题

15．某学校为提高学生对《红楼梦》的了解，举办了我知红楼知识竞赛，现从所有答卷卷面成绩中随机抽取100份作为样本，将样本数据（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，并作出如图所示的频率分布直方图.

(1)求频率分布直方图中的值；

(2)求样本数据的第62百分位数所在区间的组中值；

(3)若落在中的样本数据平均数是52，方差是6；落在中的样本数据平均数是64，方差是3，求这两组数据的总平均数和方差.

16．已知a，b，c是中三内角A，B，所对的边，设面积为，，．

（1）求角A的值;

（2）若的面积为，求的周长．

17．在多面体中，已知，，且，．

??

(1)证明：平面平面；

(2)求直线与平面所成角的正弦值．

18．在数列中，，都有，，成等差数列，且公差为.

(1)求，，，；

(2)求数列的通项公式；

(3)是否存在，使得，，，成等比数列.若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

19．已知双曲线C：（，）的两个焦点是，，顶点，点M是双曲线C上一个动点，且的最小值是.

(1)求双曲线C的方程；

(2)设点P是y轴上异于C的顶点和坐标原点O的一个定点，直线l过点P且平行于x轴，直线m过点P且与双曲线C交于B，D两点，直线AB，AD分别与直线l交于G，H两点.若O，A，G，H四点共圆，求点P的坐标.

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《广东省广州大学附属中学2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试题》参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

A

D

C

D

C

A

B

D

AD

ACD

题号

11

答案

AB

1．A

【分析】根据充分不必要条件的定义及复数的相关概念可确定选项.

【详解】当为纯虚数时，设，则，

∴.

当时，可取，则为纯虚数不成立.

综上得，“为纯虚数”是“”的充分不必要条件.

故选：A.

2．D

【分析】由