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椭圆与双曲线

课程目标1.理解椭圆和双曲线的定义22.掌握标准方程和几何性质

椭圆的定义椭圆是平面上到两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹。这两个定点称为椭圆的焦点。常数称为椭圆的长轴长。

椭圆的标准方程椭圆的标准方程取决于其焦点的位置。当焦点位于x轴上时，标准方程为：\[\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\quad(ab0)\]其中，a为长半轴长，b为短半轴长。当焦点位于y轴上时，标准方程为：\[\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1\quad(ab0)\]

椭圆的几何性质（一）对称性椭圆关于x轴、y轴和原点对称。中心椭圆的中心为坐标原点。顶点椭圆与坐标轴的交点称为顶点。椭圆有四个顶点，分别为(a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b)。

椭圆的几何性质（二）焦点椭圆的焦点位于x轴上，坐标为(±c,0)，其中c满足关系式：c2=a2-b2。焦距椭圆的焦距为2c。离心率椭圆的离心率e定义为焦距与长轴长的比值，即e=c/a，其值介于0和1之间，越接近1，椭圆越扁平。

椭圆的参数方程椭圆的参数方程可以用来描述椭圆上的点的坐标。当焦点位于x轴上时，参数方程为：\[\begin{cases}x=a\cost\\y=b\sint\end{cases}\quad(0\leqt2\pi)\]其中，t为参数，代表椭圆上的点的位置。当t从0变化到2π时，点沿着椭圆逆时针旋转一周。

椭圆的切线椭圆在点(x0,y0)处的切线方程为：\(\frac{xx_0}{a^2}+\frac{yy_0}{b^2}=1\)这个方程可以用来求椭圆在某一点的切线方程。

椭圆的例题（一）求椭圆\(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\)的离心率。根据离心率的定义，e=c/a，而c2=a2-b2=16-9=7，因此e=√7/4。

椭圆的例题（二）求椭圆\(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1\)的焦点坐标。首先求出c2=a2-b2=25-16=9，因此c=3。所以椭圆的焦点坐标为(±3,0)。

双曲线的定义双曲线是平面上到两个定点的距离之差的绝对值等于常数的点的轨迹。这两个定点称为双曲线的焦点。常数称为双曲线的实轴长。

双曲线的标准方程双曲线的标准方程取决于其焦点的位置。当焦点位于x轴上时，标准方程为：\[\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\quad(a0,b0)\]其中，a为实半轴长，b为虚半轴长。当焦点位于y轴上时，标准方程为：\[\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1\quad(a0,b0)\]

双曲线的几何性质（一）对称性双曲线关于x轴、y轴和原点对称。中心双曲线的中心为坐标原点。顶点双曲线与实轴的交点称为顶点。双曲线有四个顶点，分别为(±a,0)。

双曲线的几何性质（二）焦点双曲线的焦点位于x轴上，坐标为(±c,0)，其中c满足关系式：c2=a2+b2。焦距双曲线的焦距为2c。离心率双曲线的离心率e定义为焦距与实轴长的比值，即e=c/a，其值大于1，越接近1，双曲线越扁。

双曲线的渐近线双曲线有两条渐近线，它们是两条直线，当双曲线上的点远离中心时，双曲线逐渐靠近这两条直线。渐近线方程为：\[y=\pm\frac{b}{a}x\]

双曲线的参数方程双曲线的参数方程可以用来描述双曲线上的点的坐标。当焦点位于x轴上时，参数方程为：\[\begin{cases}x=a\sect\\y=b\tant\end{cases}\quad(-\frac{\pi}{2}t\frac{\pi}{2})\]其中，t为参数，代表双曲线上的点的位置。当t从-π/2变化到π/2时，点沿着双曲线的一支移动。

双曲线的切线双曲线在点(x0,y0)处的切线方程为：\(\frac{xx_0}{a^2}-\frac{yy_0}{b^2}=1\)这个方程可以用来求双曲线在某一点的切线方程。

双曲线的例题（一）求双曲线\(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1\)的离心率。根据离心率的定义，e=c/a，而c2=a2+b2=16+9=25，因此e=5/4。

双曲线的例题（二）求双曲线\(\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{16}=1\)的渐近线方程。