2025年高考数学二轮培优第19题新定义压轴题讲义专题07 线性代数背景下的新定义（三大题型）（学生版）.doc

专题07线性代数背景下的新定义

【题型归纳目录】

题型一：行列式背景

题型二：矩阵背景

题型三：向量组背景

【典型例题】

题型一：行列式背景

【典例1-1】(2024·高三·云南曲靖·阶段练习)定义行列式运算：SKIPIF10SKIPIF10SKIPIF10，若函数SKIPIF10??SKIPIF10(SKIPIF10，SKIPIF10)的最小正周期是SKIPIF10，将其图象向右平移SKIPIF10个单位后得到的图象关于原点对称.

(1)求函数SKIPIF10的单调增区间；

(2)数列SKIPIF10的前SKIPIF10项和SKIPIF10，且SKIPIF10，求证：数列SKIPIF10的前SKIPIF10项和SKIPIF10.

【典例1-2】(2024·高一·北京·期末)对于任意实数a，b，c，d，表达式SKIPIF10称为二阶行列式(determinant)，记作SKIPIF10，

(1)求下列行列式的值：

①SKIPIF10；②SKIPIF10；③SKIPIF10；

(2)求证：向量SKIPIF10与向量SKIPIF10共线的充要条件是SKIPIF10；

(3)讨论关于x，y的二元一次方程组SKIPIF10(SKIPIF10)有唯一解的条件，并求出解.(结果用二阶行列式的记号表示).

【变式1-1】(2024·高二·全国·单元测试)我们用SKIPIF10(SKIPIF10，SKIPIF10、SKIPIF10、SKIPIF10、SKIPIF10)表示矩阵SKIPIF10的第SKIPIF10行第SKIPIF10列元素.已知该矩阵的每一行每一列都是等差数列，并且SKIPIF10，SKIPIF10，SKIPIF10.

(1)求SKIPIF10；

(2)求SKIPIF10关于SKIPIF10，SKIPIF10的关系式；

(3)设行列式SKIPIF10，求证：对任意SKIPIF10、SKIPIF10，SKIPIF10、SKIPIF10、SKIPIF10时，都有SKIPIF10.

题型二：矩阵背景

【典例2-1】(2024·广东·一模)数值线性代数又称矩阵计算，是计算数学的一个重要分支，其主要研究对象包括向量和矩阵.对于平面向量SKIPIF10，其模定义为SKIPIF10.类似地，对于SKIPIF10行SKIPIF10列的矩阵SKIPIF10，其模可由向量模拓展为SKIPIF10(其中SKIPIF10为矩阵中第SKIPIF10行第SKIPIF10列的数，SKIPIF10为求和符号)，记作SKIPIF10，我们称这样的矩阵模为弗罗贝尼乌斯范数，例如对于矩阵SKIPIF10，其矩阵模SKIPIF10.弗罗贝尼乌斯范数在机器学习等前沿领域有重要的应用.

(1)SKIPIF10，SKIPIF10