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二项式定理综合应用--基础巩固篇
考点分析
二项式定理直接应用
求特定项及特定项系数
二项式系数的性质应用
多项式的系数
整除问题
巩固应用
一、单选题
1．（24-25高二上·安徽亳州·期末）的展开式中的常数项为（????）
A． B． C．20 D．60
【答案】D
【知识点】求二项展开式的第k项
【分析】利用二项式定理直接列式求出常数项.
【详解】的展开式中的常数项为.
故选：D
2．（23-24高二下·福建南平·期中）展开式中的第3项为（????）
A． B． C．216 D．
【答案】D
【知识点】求二项展开式的第k项
【分析】根据二项展开式的通项直接运算即可.
【详解】由题意可知：展开式中的第3项为.
故选：D.
3．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）的展开式中的系数为（???）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】求二项展开式、求指定项的系数
【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可.
【详解】对于，由二项展开式的通项得，
令解得，
则所求系数为，
故选：D
4．（24-25高三下·云南昭通·开学考试）已知的展开式中，第2项和第6项的二项式系数相等，则展开式中的系数为（????）
A．60 B． C．448 D．
【答案】A
【知识点】组合数的性质及应用、二项展开式的应用、求指定项的系数
【分析】先应用二项式系数相等得出，再应用通项公式应用赋值法计算求值.
【详解】∵第2项和第6项的二项式系数相等，∴，则，
则展开式通项公式是，
令，得，∴的系数为，
故选：A.
5．（23-24高二下·天津滨海新·期中）已知展开式的第5项的二项式系数最大，则展开式中的系数为（???）
A． B．252 C． D．28
【答案】B
【知识点】二项式系数的增减性和最值、求指定项的系数
【分析】根据组合数的性质可得最大，进而得，即可根据通项公式求解.
【详解】由于展开式的第5项的二项式系数为最大，故，
展开式中的系数为，
故选：B
6．（23-24高二下·安徽芜湖·期末）在的展开式中，含的项的系数是（????）
A．120 B．240 C．274 D．282
【答案】C
【知识点】多项式的展开式、求指定项的系数
【分析】在的展开式中含的项即从5个因式中取4个常数，1个，即可写出含的项.
【详解】在的展开式中含的项即从5个因式中取4个常数，1个，
所以含的项为，
所以含的项的系数是.
故选：.
7．（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）二项式的展开式中有理项的项数为（????）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【知识点】求有理项或其系数
【分析】根据题意，求得二项式的展开式的通项为，结合通项，即可求解.
【详解】由题意，二项式的展开式的通项为：
，其中，
当时，展开式为有理项，
所以二项式的展开式中有理项的项数为6项.
故选：C.
8．（23-24高二下·江苏宿迁·阶段练习）的值是（????）
A． B．1 C．0 D．22024
【答案】B
【知识点】二项展开式的应用
【分析】逆用二项式展开式计算求解.
【详解】
.
故选：B.
9．（24-25高二上·黑龙江双鸭山·阶段练习）被8整除的余数为（）
A．4 B．6 C．7 D．5
【答案】C
【知识点】整除和余数问题
【分析】由，利用二项式定理展开即可求得余数.
【详解】由
，
所以被8除所得的余数是7.
故选：C.
二、填空题
10．（24-25高三·上海·课堂例题）写出的二项展开式.
【答案】
【知识点】求二项展开式
【分析】直接根据二项式定理展开求解即可.
【详解】因为的展开式的通项为，
所以.
故答案为：
11．（24-25高二·全国·课堂例题）在的展开式中，第4项是．
【答案】
【知识点】求二项展开式的第k项
【分析】根据二项展开式的通项可得结果.
【详解】∵展开式中的通项为，
∴第4项是.
故答案为：.
12．（23-24高二下·广东茂名·期中）已知的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等，则.
【答案】11
【知识点】由项的系数确定参数
【分析】根据题意，结合二项展开式的二项式系数列出方程，求得的值，即可求解
【详解】根据题意知，所以.
故答案为：11
13．（24-25高二上·甘肃定西·期末）二项式的展开式中常数项为，则含项的系数为.
【答案】15
【知识点】根据二项式的第k项求值、由项的系数确定参数、求指定项的系数
【分析】利用二项式的展开式中的指数为得，再令的指数为，求得并代入展开式的通项即可得答案.
【详解】二项式的展开式的通项公式为，
令，求得，
由展开式中常数项为，得，解得
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