拓展7-1 排列组合归类（解析版）_1.docx

拓展7-1排列组合归类

一、特殊元素问题

六、染色问题

二、（不）相邻问题

七、分组分配问题

三、定序问题

八、排数问题

四、多面手问题

九、上台阶及最短路径问题

五、隔板法

一、特殊元素问题

方法点拨：处理特殊元素或特殊位置的问题，通常采用优先法，即优先安排有限制条件的元素或位置，再处理其他元素。对于复杂情况，可结合排除法，先计算总情况数再减去不符合条件的情况。这类问题的核心是分步分类处理约束条件，确保特殊元素或位置优先满足限制。

【例1】现需将编号分别为1，2，3，4，5的五人每人安排一天值班，则编号恰好奇偶相间的排班方法数共有（???）

A．8 B．12 C．24 D．36

【答案】B

【详解】先将3个奇数编号排好，有种方法，

然后将2，4插入到排好的奇数的中间可得，

故共有种．

故选：B．

【例2】（多选）某单位安排7名员工周一到周日为期一周的值日表，每名员工值日一天且不重复值班，其中甲不排在周一，乙不排在周三，则不同的安排方案种数为（????）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【详解】直接法：若乙安排在周一，则有种不同的排法；

若乙不安排在周一，则甲、乙可以安排在除周一和周三外的任何位置，有种不同的排法．

故所有符合题意的方法共有种，所以选项D正确．

间接法：（1）不管条件限制共有种不同的排法．

当甲安排在周一或乙安排在周三时，有种不同的排法；

当甲安排在周一且乙安排在周三时，有种排法．

故所有符合题意的方法共有种，所以选项B正确．

（2）从周一到周日的七天位置来看，周一不安排甲共有种不同的排法，

其中周三安排乙共有种排法，是不符合题意的，

故所有符合题意的方法共有种，所以选项A正确.

故选：ABD

【变式1-1】某员工在开办公室里四位数的数字密码门时，发现按键“3”“6”“9”上有清晰的指纹印，若该密码确实由数字“3”“6”“9”组成，则该密码有种可能．（用数字作答）

【答案】36

【详解】依题意可知，三个数字，

所以四位数有个位置是同一数字，将这两个位置捆绑，

再将三个数字排列，

所以可能有种．

故答案为：

【变式1-2】甲、乙等5人排成一行，则甲不站在5人正中间位置且乙不站在最左端的不同的排列方式共有（?????）种.

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】采用间接法，先5人全排有种，去掉甲在中间的有种，乙排最左端的有种，

然后加上甲在中间和乙在最左端的有种，

则共有种排法.

故选：D.

【变式1-3】若把英语单词“receive”的字母顺序写错了，则出现的错误写法共有（???）

A．840种 B．839种 C．2520种 D．2519种

【答案】B

【详解】7个字母的全排列有种，

因为有3个字母是重复的，所以共有种排法，

除去1种正确的写法，所以出现的错误写法共有839种.

故选：B.

二、（不）相邻问题

方法点拨：1.相邻问题捆绑法：某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看做一个整体，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部顺序．

2.不相邻问题插空法：某些元素要求不相邻时，可以先安排其他的元素，再将这些不相邻的元素插入由其他元素形成的空当．

【例3】甲、乙、丙、丁、成5人排成一排，在甲和乙相邻的条件下，丙和丁也相邻的概率为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】甲、乙、丙、丁、成5人排成一排，甲和乙相邻的情况有：所有排列为：,

甲和乙相邻，丙和丁也相邻的情况有：,

所以在甲和乙相邻的条件下，丙和丁也相邻的概率为，

故选：C

【例4】数学竞赛中，某校有共6位同学获奖，在竞赛结束后站成一排合影留念时，假设两人必须相邻且站在正中间，两人不能相邻，则不同的站法共有种.

【答案】

【详解】依题意，排，相邻且站在正中间，有种站法；

再排，不相邻，而两侧各有2个位置，即不在同侧，

在两侧各取1个位置再排列，共有种站法，

最后排有种站法，

所以不同的站法共有（种）.

故答案为：32

【变式2-1】据典籍《周礼·春官》记载，“宫、商、角、徵、羽”这五音是中国古乐的基本音阶，成语“五音不全”就是指此五音.若把这五个音阶全用上，排成一个五音阶音序，则“宫”和“角”之间恰好有一个音阶的排法种数为（???）

A．12 B．18 C．24 D．36

【答案】D

【详解】先从“商、徵、羽”中选一个插在“宫”和“角”之间，有，

再作为一个整体和剩下的两个音阶排列，

所以共有种排法.

故选：D

【变式2-2】某次征文大赛评选结束后，学校要从高二的5篇优秀范文和高一的4篇优秀范文中各选2篇放置在学校的宣传栏的第一排供师生阅读与欣赏，要求高一、高二的范文在宣传栏中的摆放顺序岔开，则不同的摆放方案共有种．

【答案】480

【详解】由题可得，先从高二的5篇中选2