2025届江西省赣州市一模数学试题.docx

第PAGE1页/共NUMPAGES1页

赣州市2025年高三年级摸底考试

数学试卷

2025年3月

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟

第Ⅰ卷（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，，若，则实数a的取值范围是（）

A. B. C. D.

2.已知复数z满足，且z在复平面内对应点为，则（）

A. B. C. D.

3.函数的最小正周期是（）

A B. C. D.

4.已知数列的前n项和为，满足，则=（）

A11 B.31 C.61 D.121

5.甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和3个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，再从乙箱中随机取出两球，则取出的两球都是红球的概率为（）

A. B. C. D.

6.已知函数，，若恰有3个极值点，则正数ω的取值范围为（）

A. B. C. D.

7.已知双曲线C：的左、右顶点分别为，，圆与C的渐近线在第一象限的交点为M，直线交C的右支于点P，若的角平分线与y轴平行，则C的离心率为（）

A. B.2 C. D.

8.已知，记，，，则（）

A. B. C. D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知，，则（）

A. B.

C. D.

10.设D是含数1的有限实数集，是定义在D上的函数，若的图像绕原点逆时针旋转后与原图像重合，则下列选项中的取值可能为（）

A. B.1 C. D.2

11.已知，为抛物线C：上异于原点O的两个动点，且，作交直线AB于点N，则（）

A.直线恒过定点 B.

C.存在一个定点Q，使得为定值 D.

第Ⅱ卷（选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知向量，，且，则=______．

13.在三棱锥中，点P在平面射影为的中点，且，，设该三棱锥的体积为V，该三棱锥外接球的表面积为S，若，则S的取值范围为______．

14.若a，，自然对数的底数为e，则的最小值为______．

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.记的内角的对边分别为，已知．

（1）求证：；

（2）已知，当角取最大值时，求的面积.

16.如图所示，平面平面，且四边形为矩形，在四边形中，，．

（1）证明：平面平面；

（2）若，再从条件①、条件②中选择一个作为已知条件，求二面角的余弦值．

条件①：异面直线CD与BE所成角的余弦值为；

条件②：直线BF与平面ACEF所成角的正弦值为．

注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的的条件分别进行解答，按第一个解答计分．

17.已知椭圆E：，其左顶点为P，上顶点为Q，直线PQ交直线于R，且（其中O为坐标原点）.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）点N在x轴上，过点N作直线l与E交于A，B两点，问：是否存在定点N，使得为定值，若存在，求出所有点N的坐标并且求出定值；若不存在，请说明理由.

18.已知函数（其中为自然对数的底数）有两个零点，．

（1）求取值范围：

（2）（ⅰ）证明：对一切的且，都有；

（ⅱ）证明：．

19.十进制与二进制是常见的数制，其中十进制的数据是由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数码来表示的数，基数为10，进位规则是“逢十进一”，借位规则是“借一当十”；二进制的数据是由0，1这两个数码来表示的数，基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”；例如：十进制的数20对应二进制表示的数为，二进制的数对应十进制表示的数为15．用表示非空的整数集合A的所有元素的和，已知集合，，i=1，2，…，n且．（一个数，不特别说明，默认为十进制）.

（1）写出“37”对应二进制表示的数及“”对应的十进制数；

（2）若集合，，，，求与的所有可能值组成的集合；

（3）若，且对每个正整数，都存在A的子集S，使得，求的最小值．