重难点11 轻松搞定立体几何的轨迹问题 （三大题型）（原卷版）.docx

重难点专题11轻松搞定立体几何的轨迹问题

【题型归纳目录】

题型一：轨迹图形

题型二：轨迹长度

题型三：轨迹面积

【典型例题】

题型一：轨迹图形

【例1】（2024·浙江温州·一模）如图，所有棱长都为1的正三棱柱，，点是侧棱上的动点，且，为线段上的动点，直线平面，则点的轨迹为（????）

??

A．三角形（含内部） B．矩形（含内部）

C．圆柱面的一部分 D．球面的一部分

【变式1-1】（2024·高二·湖北黄冈·期末）如图所示，为正三角形，四边形为正方形，平面平面.为平面内的一动点，且满足，则点在正方形内的轨迹为（为正方形的中心）

????

A．?? B．?? C．?? D．??

【例2】（2024·高一·辽宁铁岭·阶段练习）如图所示，在正四棱锥S-ABCD中，是的中点，P点在侧面△SCD内及其边界上运动，并且总是保持．则动点的轨迹与△组成的相关图形最有可有是图中的()

A． B．

C． D．

题型二：轨迹长度

【例3】（2025·高二·重庆黔江·阶段练习）已知正方体的棱长为分别是棱的中点，点为底面内（包括边界）的一动点，若直线与平面无公共点，则点的轨迹长度为（????）

A． B． C． D．

【变式3-1】（2025·高一·贵州黔西·期末）如图，在棱长为1的正方体中，P为棱的中点，Q为正方形内一动点（含边界），则下列说法中错误的是（????）

A．平面截正方体所得截面为等腰梯形

B．若∥平面，则直线CQ不可能垂直于直线

C．若，则点Q的轨迹长度为

D．三棱锥的外接球的半径为

【变式3-2】（2025·高二·四川乐山·期末）已知正方体棱长为1，点是正方体表面上一个动点，满足，则点的轨迹长度为（???）

A．2 B． C．4 D．

【变式3-3】（多选题）（2025·高一·辽宁·期末）如图，已知正三棱台由一个平面截棱长为6的正四面体所得，分别是的中点，P是棱台的侧面上的动点（包含边界），则下列结论中正确的是（????）

A．该三棱台的体积为

B．平面平面

C．直线与平面所成角的正切值的最小值为

D．若，则点的轨迹的长度为

题型三：轨迹面积

【例4】（2025·高一·福建泉州·期中）已知正方体棱长为，点在正方体内部运动（包括表面），且平面，则动点的轨迹所形成区域的面积为．

【变式4-1】（2024·高一·浙江杭州·期末）如图，已知正方体的棱长为2，长为2的线段的一个端点M在棱上运动，点N在正方体的底面内运动，则的中点P的轨迹的面积是（????）

A． B． C． D．

【变式4-2】（2025·高一·江苏常州·期末）如图，在长方体中，，，，点P是长方体表面上的动点，若，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于（）

A． B． C． D．

【过关测试】

1．（2025·高一·重庆·期末）已知正方体的棱长为4，点是棱的中点，为四边形内（包括边界）的一动点，且满足平面，的轨迹把正方体截成两部分，则较小部分的外接球的体积为（????）

A． B． C． D．

2．（多选题）（2025·高一·广东广州·阶段练习）已知正方体中，以下结论正确的有（????）

A．点在直线上运动时，三棱锥的体积不变

B．点在直线上运动时，直线与平面所成角的大小不变

C．点在直线上运动时，二面角的大小不变

D．是平面上到点和距离相等的点，则点的轨迹是过点的直线

3．（多选题）（2025·高一·山东聊城·期末）在长方体中，，点M，N分别在侧棱和底面ABCD上运动，且，则（????）

A．直线BM与直线所成角的范围为

B．存在直线MN，使MN∥平面

C．设点P为线段MN的中点，则点P的轨迹与侧面的交线长度为

D．设点P为线段MN的中点，则三棱锥的体积的最小值为

4．（多选题）（2025·高一·黑龙江黑河·期末）如图，在正三棱台中，，棱的中点分别为，点在侧面内运动（包含边界），且，则下列结论正确的是（????）

A．平面

B．正三棱台的体积为

C．与平面所成角的正切值为

D．动点形成的轨迹长度为

5．（多选题）（2025·高一·云南曲靖·期末）在棱长为2的正方体中，点是正方形内一动点（包括边界），则（????）

A．平面

B．若，则点的轨迹长度为

C．若平面，则点的轨迹长度是

D．当点在直线上运动时，的最小值是

6．（多选题）（2025·高一·湖北武汉·期末）如图，在棱长为2的正方体中，O为正方体的中心，M为的中点，为侧面正方形内一动点，且满足平面，则（????）

A．三棱锥的外接球表面积为

B．动点F的轨迹的线段为

C．三棱锥的体积为

D．若过A，M，三点作正方体的截面，Q为截面上一点，则线段长度的取值范围为

7．（多选题）（2025·高一·江苏盐城·期末）如图，在直棱柱中，底面是边长为2的菱形，，，点为的中点，动点在侧面内（包含边